4
4
4
<4>2:<4>2
hJ
"Si
<4>2:<4)2;<4>2 o°i>2io°k)2 o°i>:
1 0 X? y°
ay!1*
MylA(* - V
Immers, als rA n, dan kent zowel de designmatrix A
als de normaalmatrix A*Qy 1A een rangverlies met als
gevolg dat A*Q~1A singulier en dus niet inverteerbaar
is.
(A*QV 1A) 1 bestaat daarom niet als rA n.
In de volgende hoofdstukken worden de verschillende
consequenties van rA n besproken.
4. Invariantie en nulruimte van A
Daar de rang van een matrix per definitie gelijk is aan het
aantal lineair onafhankelijke kolommen van de matrix,
betekent rA n dat een aantal (namelijk n-rA) kolom
men van de mxn matrix A lineair afhankelijk zijn. Met
andere woorden, er bestaan niet-nul vectoren x e IRn
die voldoen aan:
(14) Ax 0.
De lineaire ruimte opgespannen door alle vectoren x
welke voldoen aan (14), wordt de nulruimte van A ge
noemd. Deze ruimte noteren we als N(A).
(15) N(A) x e IRn I Ax 0
De kolomruimte van A is de ruimte welke wordt opge
spannen door de kolomvectoren van matrix A. Deze
ruimte noteren we als R(A).
(16) R(A) y e IRm I y Ax, x e |Rn
Stel nu dat we een onderling lineair onafhankelijke set
van vectoren weten te vinden, welke gezamenlijk de
ruimte N(A) opspannen. Dan vormt deze set een basis
van N(A). Brengen we deze basisvectoren kolomsgewijs
onder in een matrix en noteren we deze matrix als V-1-,
dan is V1 een basismatrix waarvoor geldt dat:
(17) Ar1 0 en R(V±) N A
De dimensie van de nulruimte van A is gelijk aan het aan
tal lineair afhankelijke kolommen van A, dus dim N(A)
n-rA. Hieruit volgt, dat V1 een nx (n rA) basismatrix
is.
Met (17) volgt nu, dat de waarnemingsgrootheden Ejyj
van het lineaire model (1) invariant zijn tegenover de
transformatie
(1)
(18)
Immers
(19)
x1
nxl
x
nxl
V"1" t.
nx(n-rA) (n-rA)xl
,(1)
E {y} Ax A(x vH) Ax^
De in de waarnemingsgrootheden Ely) aanwezige infor
matie is derhalve niet voldoende om de onbekende para
metervector x eenduidig te bepalen. Verschillende para
metervectoren x leveren dezelfde Ely}.
In de geodetische puntsbepaling komen we deze situatie
tegen in de zgn. vrije netwerken.
Voorbeeld 1
Beschouw een waterpasnetwerk met n punten. De
waarnemingsvergelijkingen zijn van de vorm:
E{hij} (-1 1)
hi
v y
De dimensie van de nulruimte is gelijk aan 1 en wordt op
gespannen door
V
nxl
l
l
l
Voorbeeld 2
Beschouw een triangulatienetwerk. De gelineariseerde
waarnemingsvergelijkingen van de hoeken zijn van de
vorm:
E{Aa1jk>=
0
x
Het zal duidelijk zijn, dat de hoeken invariant zijn tegen
over translaties in x en y richting (Atx, Aty), tegenover
een schaalverandering (AA) en tegenover een rotatie
(Ae). De dimensie van de nulruimte is dan ook gelijk aan
4. De nulruimte wordt opgespannen door de kolommen
van de basismatrix.
(20)
nxl
1 0
0 1
1 J 1
0 0
Yi "Xi
v J
De transformatie welke de hoeken invariant laat, luidt
dan:
(21)
f
AX*1*
Ax.
1
1
1 J
AYi
O
O
1
X
-J. O
V
^x
At
y
AA
Ae
Deze transformatie herkennen we als de gelineariseerde
gelijkvormigheidstransformatie.
Doordat verschillende parametervectoren x dezelfde
Ely} opleveren, bestaat er geen unieke LKK-schatter x
van x. Immers als x aan het stelsel normaalvergelijkingen
(12) voldoet, dan voldoet ook x Vxt aan (12).
De volgende stelling leert ons hoe we de gehele oplos
singsruimte van (12) kunnen karakteriseren.
STELLING II
Laat x0 een particuliere oplossing zijn van het stelsel van
normaalvergelijkingen (12). Dan bestaat er voor iedere
oplossing x van (12) een (n - rA)-vector t, zodat x te
schrijven is als
nxl nxl nx(n-rA) (n-rA)xl
(22)
Bewijs:
Daar zowel x als x0 aan (12) voldoen, volgt dat het verschil x-x0
voldoet aan
Dus x-x0 N(A*Qy 'A). Daar N(A*Qy A) N(A), volgt dat x-x0
e N(A) R(V Dit betekent, dat er een (n - rA)-vector t bestaat,
zodanig dat x-x0 Vit.
184
NGT GEODESIA 87
