AV7
e
5. Waarom kiezen we voor de LKK-schatter?
We hebben gezien, dat in het geval van een rangdefecte
designmatrix A er oneindig veel LKK-schatters bestaan
van de parametervector x. De LKK-schatter lijkt daarom
in eerste instantie een niet erg praktische schatter.
Waarom wordt dan toch zo vaak het LKK-criterium ge
hanteerd?
Gewoonlijk wordt voor de LKK-schatter gekozen, om
dat:
1. Het LKK-criterium intuïtief een redelijk criterium lijkt.
Immers het criterium behelst, dat de gewogen som
van de kwadraten van de residuen wordt geminimali
seerd.
2. De LKK-schatter en bijbehorende covariantiematrix
relatief eenvoudig kunnen worden berekend.
3. De LKK-schatter een zgn. maximum likelihood schat
ter is, indien y normaal verdeeld is. Van deze eigen
schap wordt vooral gebruik gemaakt bij het ontwik
kelen van statistische toetsmethoden.
4. Indien rA n, de LKK-schatter uniek is.
5. Indien rA n, de LKK-schatter x een zuivere schatter
is van x.
Uit x (A*QV 1A)
1 A*Qy 1y volgt immers met
Ely) Ax, dat
E{x) (A'Q^A) 1 A*Qy 1 Ely! x
6. Indien rA n, de LKK-schatter x in de klasse van zui
ver lineaire schatters van x minimale variantie heeft.
Helaas is de LKK-schatter x niet meer uniek, niet meer
zuiver en heeft x geen minimale variantie meer, indien
rA n. Betekent dit nu dat we de LKK-schatter moeten
afschrijven voor die situaties waar rA n geldt? Nee,
gelukkig niet. Hoewel we dan x niet meer zuiver kunnen
schatten, kunnen we nog wel met behulp van x bepaal
de lineaire functies 0 a*x van x, de zogenaamde
schatbare functies, zuiver schatten. Bovendien heeft de
zuivere schatter 0 a*x van a*x in de klasse van zuiver
lineaire schatters van a*x minimale variantie en is deze
schatter uniek. Het een en ander is samengevat in de
volgende stelling:
STELLING III
i) De lineaire functie van 0 a*x is zuiver schatbaar
onder model (1) van p. 182 dan en slechts dan als er
een vector f e IRm bestaat, zodanig dat
(23) a A* 1
nxl nxm mxl
ii) indien 0 a*x zuiver schatbaar is, wordt de Mini
mum Variantie Zuiver Lineaire (MVZL)-schatter van
0 a*x gegeven door
(24) 0 a*X
waarbij x een willekeurige oplossing van de normaal
vergelijkingen (12) mag zijn.
Voor het bewijs van deze stelling verwijzen we naar [1],
Dat de MVZL-schatter a*x van a*x uniek is, valt eenvou
dig in te zien. Uit (23) volgt met (22) dat
(25) 0 a*x 1*Ax
en daar Ax Ax0, zie (22) en (17), volgt met (25) dat
(26) 0 a x 1 Ax 1 A*q a Xq
Merk op, dat Ely! Ax en iedere lineaire functie l*E[y)
van Ely! zuiver schatbaar is. Hoogteverschillen in een
waterpasnetwerk en hoeken en lengteverhoudingen in
een triangulatienetwerk zijn dus zuiver schatbare func
ties.
6. Een particuliere oplossing van de normaalver
gelijkingen
We hebben gezien, dat de unieke MVZL-schatter van
0 a*x eenvoudig kan worden berekend als 0 a*x,
waarbij x iedere LKK-schatter van x mag zijn. We weten
ook dat de oplossingsruimte van het stelsel normaalver
gelijkingen
(27) A*Q~1AX
wordt gekarakteriseerd door
(28) x x0 Vxt
We weten echter nog niet hoe we een particuliere oplos
sing x0 van (27) kunnen berekenen.
STELLING IV
Indien
matrix S een basismatrix is, en
matrix (S V1) vierkant en regulier is,
dan is
(29)
(30)
xQ S[(AS)*Qy1(AS)]"1(AS)*Qy1y
een LKK-schatter van x onder model (1).
Bewijs:
Daar de matrix (S VJ-) vierkant en regulier is, kunnen we van de
volgende herparametrisering gebruik maken:
(31)
- S
Substitutie van (31) in (27) geeft, daar AVI 0:
(32) A Qy AS 0
A Q_1y
Vermenigvuldigen we (32) nu voor met (S V-b* dan volgt, daar
V1* A* =0:
(AS)*Q~1(AS) 0
a
(AS)*Q~1y
0
y
(33)
We merken nu op, dat matrix AS een basismatrix is. Immers, zou
dit niet het geval zijn, dan moet of a) matrix S een rangverlies
hebben, of b) een aantal lineaire combinaties van de kolommen van
matrix S in de nulruimte N(A) liggen. Nu is a) uitgesloten, omdat
matrix S een basismatrix is en b) is uitgesloten, aangezien (S V1)
regulier is. Het regulier zijn van (S V1) betekent immers, dat geen
enkele lineaire combinatie van de kolommen van de matrix S te
schrijven is als een lineaire combinatie van de kolommen van matrix
V-L. De conclusie luidt dus, dat AS een basismatrix is. Omdat AS
volle rang heeft, heeft ook matrix (AS)*Q~'(AS) volle rang. Dus
matrix (AS)*Qy'(AS) is inverteerbaar.
Uit (33) volgt dan
(34) [(AS)*Q~1(AS)]~1(AS)*Qy1y 6=0.
Substitutie in (31) geeft dan tenslotte (30).
7. Het rangdefecte lineaire model met gewogen
minimumcondities
Laat S1 een basismatrix van N(S*) zijn. Dan volgt uit
(30), daar S*S1 0 of S-f*S 0, dat
I
SX Xq 0
(35)
Dit geeft aan, dat de schatter van (30) kan worden ver
kregen door het LKK-algoritme toe te passen op het
model
a) E {y} Ax Q
(36)
1*.
b) met de restriktie: S x 0
NGT GEODESIA 87
185
