A
0
sx*
b) Q* Qx0 met QtYVr^YVr1
s^V
"Vs^y
Immers uit S-L*x 0 volgt, dat x e R(S). Met andere
woorden, er bestaat een vector a, zodanig dat
(37) x Sa
Substitutie van (37) in (36.a) geeft dan Eiy} ASa. Nu
is AS een basismatrix, en wordt de LKK-schatter van a
gegeven door a van (34). Substitutie van a in (37) geeft
dan de LKK-schatter x0 van (30).
Schrijven we (36) nu als
(38)
E
x,
0
dan kunnen we de restricties (36.b) interpreteren als
extra waarnemingsvergelijkingen met een oneindig
groot gewicht (d.w.z. de variantie is gelijk aan nul).
Op een vergelijkbare manier kunnen we nu iedere LKK-
schatter x van x interpreteren als zijnde verkregen door
toepassing van het LKK-algoritme op het zogenaamde
rangdefecte lineaire model met gewogen minimumcon
dities:
(39)
f N
E
y
A
c
x,
O
XD
O
V.
Dit model wordt verkregen door het rangdefecte lineaire
model (1) uit te breiden met de fictieve waarnemings
vergelijkingen
(40) E {c> SX+x Qc
Deze fictieve waarnemingsvergelijkingen worden de
zgn. gewogen minimumcondities genoemd; „mini
mum", omdat zij de informatie bevatten die minimaal
nodig is om het rangdefect van A op te heffen, „ge
wogen" omdat zij worden behandeld als waarnemings
vergelijkingen met covariantiematrix Qc.
STELLING V
Indien matrix S1 een basismatrix is van N(S*), dan is
I I
(41) S V vierkant en regulier,
en wordt de LKK-schatter x van x onder model (39) met
covariantiematrix Qs gegeven door:
(42)
a) x
vY met t (SJ-*V1)"1c
Bewijs:
We bewijzen eerst (41). Daar V1 een nx(n-rA) basismatrix is, en
(S V1) vierkant en regulier is, volgt dat S een nxrA basismatrix is.
Hieruit volgt dat de basismatrix S1 van N(S*) een nx(n-rA) matrix
is. Dus S1*V1 is vierkant. Stel nu dat S-^V1 singulier is, dan moet
een aantal lineaire combinaties van de kolommen van V1 in R(S)
NIS1*) liggen. Dit is echter uitgesloten, daar (S1: V1) regulier is.
Dus S1*V1 is regulier.
Nu bewijzen we (42). Substitutie van
(43)
in (39) geeft:
S V1
(44)
E
N
y
AS 0
a
'Qy o'
c
0 SXV
0
0 «c
V
Hieruit volgt direct dat
(45)
Tevens volgt, daar S1*Vi vierkantten regulier is, dat p
(S1*V1)-1 E|c|. Dus de LKK-schatter p van p luidt
(46) 6 SX*VX )_1c
Substitutie van (45) en (46) in (43) geeft dan tenslotte met (30) het
I(AS)*Q-1(AS)]"1(AS)*Q-1y
resultaat (42.a). De covariantiematrix volgt na toepassing van
de voortplantingswet op (42.a).
Merk op dat, afhankelijk van de gekozen matrix Qc, de
rang van de covariantiematrix Q* van x kan variëren van
rA tot n. Matrix O* heeft volle rang n en is dus regulier
en inverteerbaar als matrix Qc positief definiet wordt ge
kozen. Wordt Qc 0 gekozen, dan heeft O* de rang rA.
In dit geval is Q* dus singulier en niet inverteerbaar.
In (39) hebben we aangenomen, dat y en c ongecorre
leerd zijn. We kunnen echter ook nog een fictieve corre
latie invoeren. Dit komt er dan op neer, dat we de vector
t van (42) stochastisch en gecorreleerd met x0 veron
derstellen. In plaats van (42) krijgen we dan
(42'
a) x xn V t
b> Q* Qx0 \t^* vlQtx0 v\vl*
Het bewijs hiervan gaat analoog aan dat van Stelling V
en wordt aan de lezer overgelaten.
Vervolg voorbeeld 2
Om het lineaire model (39) op te lossen, moeten we een
basismatrix S1 kiezen, zodat de matrix S1*Vi vierkant en
regulier is. Er bestaan oneindig veel matrices welke aan
deze eisen voldoen. Voor een triangulatienetwerk is de
meest eenvoudige keuze
cl*
(47)
SJ
4xn
=(01-0
Het zal duidelijk zijn, dat deze S1 een basismatrix is. Met
V1 van (20) volgt dan
(48)
4x4
1 0
0
xi
0 1 y
1 0 x'
0 1 y'
0
>1
0
"xi
0
en deze matrix is regulier.
De bij de keuze (43) behorende minimumcondities kun
nen nu worden geïnterpreteerd als waarnemingsvergelij
kingen voor de coördinaten van de twee netwerkpunten
P, en Pj. Wordt Qc 0 gekozen, dan prikt men de coör
dinaten van de punten Pj en P, vast. Wordt Qc#0 geko
zen, dan krijgen de coördinaten van Pj en Pj een fictieve
variantie Qc mee.
Ook de bij keuze (47) behorende basismatrix S is van een
eenvoudige vorm, namelijk:
(49)
S
nx(n-4)
Hieruit volgt, dat de LKK-schatter
(50)
S[(AS) Q (AS)]
wordt verkregen middels het elimineren van de vier, bij
de coördinaten van Pj en Pj behorende, kolomvectoren
van de designmatrix A.
8. Verband met S-transformaties en schatbare
coördinaten
We hebben tot nu toe gezien, dat de LKK-schatter x van
x onder model (1) niet uniek is als rA n, dat iedere
186
NGT GEODESIA 87
