(53) x vS:
b) sf (1.
f
■1)
LKK-schatter x kan worden verkregen als oplossing van
het model (39), dat x geen MVZL-schatter is van x, dat
a*x met a e R(A*) wel een MVZL-schatter is van
a*x, en dat a*x uniek is. Omdat a*x uniek is, is deze
schatter onafhankelijk van de gemaakte keuze voor c,
Qc en S1 in model (39), mits uiteraard S1 zo wordt ge
kozen, dat S^V1 vierkant en regulier is.
Het lijkt een beetje omslachtig om voor de berekening
van een MVZL-schatter eerst een x te moeten berekenen
en dan pas a*x. We zullen echter laten zien, dat dit voor
één belangrijk speciaal geval niet hoeft. De schatter x0
van (30), welke wordt verkregen door model (39) op te
lossen met de keuze c 0 en Qc 0, is namelijk zelf een
MVZL-schatter. De LKK-schatter x0 is echter geen
MVZL-schatter van x, maar van
(51)
Psx
met
Ps 4
I -
V1(S±*V±)~1S1*
Eerst laten we zien dat x0 inderdaad zuiver schatbaar is.
Daartoe moeten we aantonen, dat de kolomvectoren
van P* in de ruimte RA*liggen, zie Stelling III (i). Nu
liggen de kolomvectoren van P* in R(A*) als zij lood
recht staan op de ruimte N(A) R(V-L). Dus PsV1 0
moet gelden. Dat dit inderdaad geldt, volgt uit de defini
tie van Ps in (51).
Uit Stelling III (ii) volgt dan dat de MVZL-schatter van
Psx wordt gegeven door Psx. Met (42.a) volgt dan dat
Psx Psx0. Tenslotte volgt dan met (30) dat x0=Psx0.
Dus de LKK-schatter
(52) xQ Psx0 Psx
uit (30) is de MVZL-schatter van (51).
In voorbeeld 2 hebben we laten zien, dat voor een trian
gulatienetwerk de transformatie
werd gegeven door de gelineariseerde gelijkvormig
heidstransformatie. Vermenigvuldigen we (53) nu voor
met (S1*V1)'S1* en stellen we S1*xl1l 0, dan volgt:
(54) x'1) I - V"L[S"L*V"1"]~1S~L*)x
Vergelijken we (54) met (51), dan zien we dat xnl iden
tiek is aan x0. Dit laat zien, dat de transformatiematrix
Ps van (51) een gelijkvormigheidstransformatie is en dat
de componenten van de zuiver schatbare vector x0 als
(Cartesiaanse) coördinaten zijn te interpreteren. We kun
nen dan ook spreken over schatbare coördinaten. De
matrix Ps heet de S-transformatie. De S-transformatie
maakt het dus mogelijk de in het algemeen niet zuivere
LKK-schatters x zo te transformeren, dat zuiver schat
bare coördinaten worden verkregen.
Er bestaan net zoveel S-transformaties als er basismatri-
ces S1 bestaan, waarvoor geldt dat S-^V1 vierkant en
regulier is. De S-transformatie bezit de volgende eigen
schap
(55) P P p
1 2 S1
Voor meer informatie over de (geometrische) interpreta
tie van de S-transformaties verwijzen we naar [5] en [6],
Vervolg voorbeeld 1
Twee toegestane keuzes voor de basismatrix S1 in een
vrij waterpasnetwerk zijn:
a) Sj* (0,0..0,1,0....0)
(56)
I
De bij keuze (56.a) behorende S-transformatie luidt dan:
of
1
y
(1)_1(0,00,1,00)
(57)
-1
-1
0
-1 1
0
-1 1
De bij keuze (56.b) behorende S-transformatie luidt:
1
I -
(n)*1(l.
of
(58) Pc
2 n
n-1 -1
-1 n-1
-1
-1 -1
-1
-1 n-1
Andere voorbeelden van S-transformaties voor één-,
twee- en driedimensionale netwerken en voor netwerken
op de bol en omwentelingsellipsoïde kan men vinden in
respectievelijk [3], [4], [5] en [6].
9. Conclusies
In dit artikel hebben we het rangdefecte lineaire tweede
standaardvraagstuk besproken. We hebben laten zien,
dat iedere LKK-schatter x van x onder dit model voldoet
aan de normaalvergelijkingen (12). De LKK-schatter x is
niet uniek en kan worden gekarakteriseerd door x
x0 V-H, waarbij x0 een particuliere oplossing is van de
normaalvergelijkingen. Iedere LKK-schatter x kan via het
zgn. rangdefecte model met gewogen minimumcondi
ties (39) worden verkregen. De rang van de covariantie-
matrix hangt af van de gekozen matrix Qc. De rang
van Qs is minimaal rA en maximaal n. De LKK-schatter
x is geen MVZL-schatter van x. De parametervector x is
niet zuiver schatbaar, maar bepaalde lineaire functies
van 0 a*x van x zijn dat wel.
De MVZL-schatter van 0 a*x wordt gegeven door
0 a*x, waarbij x iedere LKK-schatter van x mag zijn.
De schatter 0 a*x van 0 a*x is uniek en dus onaf
hankelijk van de gewogen minimumcondities. De LKK-
schatter x0, verkregen met de keuze Qc 0, is een
MVZL-schatter van Psx, waarbij Ps de bij de gekozen
oneindig gewogen minimumcondities behorende S-
transformatie is. Daar in het geval van geodetische net
werken de S-transformatie Ps een (gelineariseerde) ge
lijkvormigheidstransformatie is, kan men spreken over
de schatbare coördinaten x0 Psx.
NGT GEODESIA 87
187
