r
w
3
1
/[411
i
41' 0
i.42;
4j
«i 4"
42).o'
iFV
42) Ê*<2> - 4*
41'"
42>.
42>"
x, n,-vector van coördinaatincrementen van de vrije
punten in netwerk (1).
x2
sluitingspunten.
x.
vrije punten in netwerk (2)
n2-vector van coördinaatincrementen van de aan-
3 n3-vector van de coördinaatincrementen van de
Fig. 7. Overlappende puntenve/den.
dan kunnen we uitgaande van (3) het gelineariseerde
model voor de aansluitingsvereffening formuleren als:
(4)
=(1)
1
I
X1
X(D
*2
I
x2
2
I
x3
x(2>
t
„(1)
"li
q(D
21
„(1)
g12
„m
22
0
|(2) „(2)
22 "23
,(2) „(2)
32 133
Merk op dat we er hierbij van zijn uitgegaan, dat we de
coördinaten na aansluiting in het coördinatenstelsel van
het eerste netwerk wensen te krijgen. Willen we nu het
LKK-algoritme op het lineaire model (4) gaan toepassen,
dan zullen we de covariantiematrices of delen daarvan
moeten inverteren. Dit is echter niet altijd mogelijk. We
weten immers [1], dat de covariantiematrix van de LKK-
schatter x dan en slechts dan inverteerbaar is als de co
variantiematrix Qc van de gekozen gewogen minimum
condities positief definiet is. In alle andere gevallen zal
de covariantiematrix van de LKK-schatter x in het rang-
defecte lineaire model singulier en dus niet inverteerbaar
zijn. Het eventuele rangdefect in de covariantiematrices
van (4) is dus een gevolg van het rangdefect in de
designmatrices met behulp waarvan de twee netwerken
afzonderlijk zijn vereffend. Hoe kunnen we nu het rang
defect in de covariantiematrices opheffen? In hoofdstuk
4 zullen we laten zien, dat we de covariantiematrices van
(4) op een bepaalde manier mogen regulariseren zonder
dat dit de LKK-schatter van x in model (4) beïnvloedt.
We nemen daarom alvast aan, dat de covariantiematri
ces van (4) regulier en dus inverteerbaar zijn.
3. LKK-oplossing van de aansluitingsvereffening
De LKK-schatters van E{x21)} en
E{x<2'}
worden uitslui
tend bepaald door de coördinaten x^11 en x^21 van de
aansluitpunten. Zij zijn dus niet afhankelijk van de coör
dinaten x1,1' en x® van de vrije punten in beide netwer
ken. Dit betekent, dat we ons voor de bepaling van de
schatters Eix^') en Ex^2)kunnen beperken tot het deel-
model:
(5)
De coördinaten van de vrije punten in beide netwerken
zijn nu te interpreteren als zgn. ,,xR-grootheden". Zij
krijgen een LKK-correctie afhankelijk van hun correlatie
met respectievelijk x£" en x^2).
Hoewel deelmodel (5) al gemakkelijker is te hanteren dan
het lineaire model (4), kunnen we nog een stap verder
I 0
x2
t
0 „*2>
0.(1)
gaan door de verschilvector d van x2
schouwen. We definiëren:
t o<2>
Woo
en x;
te be-
Uit (5) volgt, dat de LKK-schatter t van de transformatie
vector t uitsluitend bepaald wordt door de verschilvector
d. Dit betekent, dat we ons voor de bepaling van t kun
nen beperken tot het eenvoudige deelmodel:
(2) E d - -Vgt 1 Qd
Met betrekking tot dit model zijn nu alle coördinaten
x1,11, x2x221 en x® ,,xR-grootheden" geworden. Zodra
de LKK-residuenvector van d bekend is, kan men de
LKK-correcties van de coördinaten met behulp van de
uit de vereffeningstheorie [2] bekende formule van de
,,xR-grootheden" berekenen. Deze formule luidt respec
tievelijk in de zgn. index-. Tienstra- en mathematisch-
statistische notatie:
a) êR gRJ 9jfÊ1
(8) b) êR - xR.,4* x\xJ*
c) £R E{(xR-E{xR))(xj-E{xj))*)lE{(x'-E{xi))(xJ-E(xJ))')]"1€1
We zullen in het vervolg de Tienstra-notatie aanhouden.
Het deelmodel (7) is geformuleerd als een tweede stan
daardvraagstuk. De designmatrix -V2 heeft volle rang.
De rang van de covariantiematrix Qd hangt af van de
rangen van de twee covariantiematrices Q1^1 en Q§. We
nemen voorlopig even aan, dat Qd volle rang heeft en
dus inverteerbaar is. Toepassing van het LKK-algoritme
van het tweede standaardvraagstuk op (7) geeft dan
voor de LKK-schatters van respectievelijk t, d en de resi
duenvector van d:
4) - -(vz*Odlvz'"lvz*Qdld
(9) b) 1 -Vft
c) Éd -i-i
Met behulp van de LKK-residuenvector £d en formule
(8b) kunnen de LKK-correcties aan de coördinaten wor
den berekend als:
(10)
De LKK-schatters van de onbekende coördinaten x,, x2
en x3 van model (4) worden dan berekend als:
es(l)
X1
^.d*
d,d*
L
êd
Ml)
2
d,d*
1
fd
M2)
2
d,d*
Ld
£o(2)
3
d,d*
rd
lm
x2 4 ExP'
- x<2>
(2) - <t
2 2
Merk op dat x2 V^t en x3 V^t de LKK-schatters van
respectievelijk E{x221] en E{x321} zijn. Dus de LKK-schat
ters van x2 en x3 worden verkregen door de LKK-
schatters van E(42)] en E{x^21) met behulp van de trans
formatievector t na te transformeren. De LKK-schatters
van E!42,l en E|x^2,j zijn immers nog in het coördinaten
stelsel van het tweede netwerk gedefinieerd.
Door na te gaan hoe de uit de twee afzonderlijke vereffe
ningen verkregen coördinaatschatters met de verschil
vector d correleren, kunnen we door samenvoeging van
de formules (9), (10) en (11) de uiteindelijke LKK-oplos-
sing van de aansluitingsvereffening berekenen. Daar
(12)
0(1)
12
- n'11
g22
-0<?>
g(2)
32
(6)
«o
*2
j(2)
x2
0(D
"22
volgt tenslotte uit (9), (10) en (11) dat:
230
NGT GEODESIA 87
