-(vf
-vjt
l 3
32
"VL
»x2tVf
(13)
a)
t
Qdlv2)'lv2*
q-ld
b)
d
*1
.(i)
X1
12
0
X2
o(i)
2
-M)
22
Qd'(d-J) t
0
c)
x2
x3
2
x<2)
n(2)
g22
n(2)
t
(19)
Bij het gebruik van formule (13) voor de aansluitings
vereffening is de rekengang dus de volgende:
Men stelt de verschilvector d met bijbehorende co-
variantiematrix Qd op.
Na inversie van Qd (eventueel na regularisatie, zie
hoofdstuk 4) berekent men met behulp van (13a) de
LKK-schatter van de transformatievector t.
De LKK-correcties van de coördinaten van beide net
werken worden berekend op grond van het verschil
d - d.
De vereffende coördinaten van netwerk (2) worden
vervolgens met behulp van de transformatievector t
getransformeerd om tenslotte coördinaten in het
coördinatenstelsel van het eerste netwerk te krijgen.
4. Regularisatie van Qd
We hadden al opgemerkt, dat in het algemeen de co-
variantiematrices van de coördinaten singulier en dus
niet inverteerbaar zijn. Nu is oplossing (13) pas te gebrui
ken als Qd regulier is. Wat te doen als Qd singulier is?
We zullen laten zien, dat we een singuliere Qd altijd op
een bepaalde manier kunnen regulariseren zonder dat dit
de LKK-schatters van (13) beïnvloedt. Daartoe bewijzen
we dat zowel Qd 1 (d dals t invariant zijn onder de ge
noemde regularisatie.
Eerst bewijzen we dat:
(14)
V("-O WW v2d
t - -(vfvp-'vf I - QdV2(V2QdVz)-1V*) d
waarbij matrix V2 een basismatrix is van de nulruimte
N(V2*). Uit de vereffeningstheorie weten we, dat er
twee standaardformuleringen van het vereffeningsmo
del bestaan, namelijk het eerste en het tweede stan
daardvraagstuk. Beide geven identieke resultaten. Mo
del (7) is als een tweede standaardvraagstuk geformu
leerd. Om de eerste standaardvraagstukformulering van
(7) te verkrijgen, vermenigvuldigen we (7) voor met de
basismatrix V2Daar V2V2 0, volgt dat
(15)
V, E d - 0
Toepassing van het LKK-algoritme van het eerste stan
daardvraagstuk op (15) geeft dan voor d en gd
a) S - I - QdV2(»2QdV2)"1V*) d
(16)
b) cd d - d -Vz<w2rlv; 4
Voorvermenigvuldigen van (16b) met Qd' geeft dan
(14a).
Uit (13b) volgt dat
OP t -(vfv4)-lV4*d
Substitutie van (16a) in (17) geeft dan (14b).
Nu merken we op, daar V£*V2 0, dat
(18) Qd V^vf )V2 QdV2
voor iedere keuze van Qt.
Dit betekent, dat we bij de berekening van (14a) en (14b)
in plaats van Qd ook gebruik mogen maken van de som
Qd V2QtV2* (14) is dus invariant voor de additionele
term V2QtV2* Bij de aansluitingsvereffening mag men
daarom altijd voor Qd de matrix
NGT GEODESIA 87
o<" o
22 1;
v&vf
nemen.
Nu weten we [1], dat de covariantiematrix Qji ViQtVi*
van de coördinaten regulier is, als Q, positief definiet
wordt gekozen. Dit betekent, dat de covariantiematrix
Qd van (19) regulier en dus inverteerbaar is, als Q, posi
tief definiet (bijvoorbeeld Qt=l) wordt gekozen. We
kunnen dus altijd een eventuele singuliere Qd met be
hulp van de additionele term V2QtV2* regulariseren,
zonder dat de oplossing (13) hierdoor verandert.
Is de som Cfjj Q£' zelf al regulier, dan wordt in (19)
Qt 0 gekozen.
5. Invariantie van (x* x* x*)*
In onze formulering (4) van het lineaire model van de
aansluitingsvereffening zijn we ervan uitgegaan, dat we
de coördinaten na aansluiting in het coördinatenstelsel
van het eerste netwerk wensen te krijgen. Dit betekent,
dat de LKK-schatter van de coördinaatonbekenden (x*
x2 x2 onafhankelijk moet zijn van de in het tweede net
werk gekozen gewogen minimumcondities. Dit blijkt
echter niet direct uit formule (13). Als we immers in het
tweede netwerk op een andere set van gewogen mini
mumcondities overgaan, zullen zowel de coördinaten-
schatter x121, de covariantiematrix Q-x'21, als de transfor
matievector t veranderen.
In [11 hebben we laten zien, dat we elke LKK-schatter x
van het rangdefecte lineaire model kunnen schrijven als:
a) *0 V1 t
(20)
b) q5 qs o, y* v-Vj Ay*
X x0 xQt tx0
waarbij x0 een particuliere oplossing is van de normaal
vergelijkingen. We zullen nu de afhankelijkheid van
oplossing (13) van de additionele termen in (20) onder
zoeken.
Stel dat we in het tweede netwerk op een ander stel van
gewogen minimumcondities overgaan, d.w.z. we gaan
over op een andere coördinaatdefinitie. Geven we de bij
de nieuwe coördinaatdefinitie behorende schatters aan
met een accent, dan geldt volgens (20):
(21)
a)
*(2)'
2
iW
2
Vg t
b)
b(2)
3
3
»4t
c)
n(2)*
22
o(2)
22
d)
n(2)'
32
q(2)
32
wï
«toy*
1°. De afhankelijkheid van t
Uit (16a) volgt dat
(22)
4 d - Qdv2(v2Qdv2) 'v2 d
Vervangen we volgens (21) d en Qd door respectievelijk:
(23)
a) d' d - t
b> v «dvfvVf-
dan transformeert, daar V2 V2 0, d naar d als:
(24) d" - d - t - v£qtx^V2(V2QdV2)-1V2 d
Met (14a) is dit ook te schrijven als:
(25) d' - d - v£ t - »2Qtx2Qdl(<1 d'
Met (17) en (25) volgt dan, dat bij overgang op een nieu
we coördinaatdefinitie t naar ttransformeert als:
(26) V t t Qtx Dj1!* - 4)
2°. De afhankelijkheid van Qd (d-d)
Daar volgens (14a)
231
