V
J
V
A
A
'4
M
k>
3
fx(2)l
3
3
V«(dd)
h<;>
hi"
fh(2)'
1
4?>
J
(27)
Qj (d - d) V2(V2QdV2)-'v2 d
volgt, omdat V2V^ 0, dat Qd 1 (d-d) onafhankelijk is
van de additionele termen welke in (21) optreden. Met
andere woorden, (27) is onafhankelijk van de in beide
netwerken gekozen coördinaatdefinities.
Een andere manier om dit in te zien, is de volgende. Stel
dat matrix A de rangdefecte designmatrix is van het
tweede netwerk. Dan is AV1 0 of in gepartitioneerde
vorm
(28)
A,
Daar V een basismatrix is van NKV1*), geldt
(29) R(A*) R(V)
Uit
(30) V* 0
volgt dan, dat de kolommen van de matrix (V2 0)* in de
kolomruimte R(V) R(A*) liggen, maar dit betekent [1]
dat de lineaire functies V2x2 en V2E{dj schatbaar zijn en
dus onafhankelijk van de gekozen gewogen minimum
condities.
3°. De afhankelijkheid van (xj xji*
Met de nieuwe coördinaatdefinitie in het tweede net
werk wordt de tweede set van vergelijkingen van (13c):
*2
(2)'
*2
q(2)'
«22
- d)
*3
x(2)'
q(2)
32
;v3.
(31)
We zullen laten zien dat
(32)
Uit (21 a&b) volgt dat
(33)
X2
*2
*3
o(2)
2
2
*(2)'
*(2)
3
Met (21 cEtd), (27) en Vf V2 0 volgt dat:
0(2)
«22
Qj'ld - 3)
q(2)
«22
Qj'ld - d) 9
q(2)
32
q(2)
32
(34)
en met (26) volgt dat:
(35)
Vd <dd)
-V1
2
«z'
-V1
t'
t -
t -
Substitutie van (33), (34) en (35) in (31) geeft dan ten
slotte (32).
Dus (x2 X3 is inderdaad onafhankelijk van de gekozen
gewogen minimumcondities van het tweede netwerk.
Omdat (x* x2)* dit ook is, is dus de gehele oplossing
(13c) onafhankelijk van de in netwerk (2) gekozen coör
dinaatdefinitie.
6. Voorbeeld: waterpasnetwerk
Om het een en ander te verduidelijken, zullen we twee
eenvoudige waterpasnetwerkjes met verschillende coör
dinaatdefinities aansluiten.
Netwerk en (2)
Het eerste waterpasnetwerkje bestaat uit de drie punten
1, 2, en 2', en het tweede uit de drie punten 3, 2, 2'
(fig. 2).
De punten 2 en 2 zijn de aansluitpunten. De twee lineai
re modellen op grond waarvan de twee waterpasnet
werkjes afzonderlijk worden vereffend, luiden:
I
Fig. 2. Het aansluiten van twee waterpasnetwerken.
(36)
en
(37)
-1 1 0
h<!)
0 -1 1
a<!)
1 0 -1
32
-1 1 0
h<2>
2 '2
0 -1 1
h<2>
23
1 0 -1
h(2)
De designmatrices van beide netwerken zijn singulier en
de basismatrix V1, welke de nulruimte van de design
matrices opspant, luidt:
(38)
We nemen aan, dat de covariantiematrix van de geme
ten hoogteverschillen voor beide netwerken een een
heidsmatrix is. De singuliere normaalmatrices zijn voor
beide modellen gelijk en worden gegeven door:
(39)
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2
Coördinaatdefinitie
NETWERK (1)
Voor netwerk (1) beschouwen we drie verschillende
coördinaatdefinities.
1. De hoogte h1,11 van punt 1 wordt gesteld op de waar
de c met een fictieve variantie van Qc 10.
2. De hoogte h|V van punt 2wordt vastgeprikt op de
waarde 0, d.w.z. deze minimumconditie wordt onein
dig gewogen.
3. De hoogte h^11 van punt 2 wordt vastgeprikt op de
waarde 0.
NETWERK (2)
Voor het tweede netwerk beschouwen we twee verschil
lende coördinaatdefinities.
1. De hoogte h^2) van punt 3 wordt vastgeprikt op de
waarde 0.
2. De hoogte h^2) van punt 2 wordt vastgeprikt op de
waarde c 5.
Vrije LKK-vereffening
We weten [1], dat de oplossing van het rangdefecte li
neaire model met gewogen minimumcondities
(40)
'y 0
0 Q,
wordt gegeven door
X S[(AS)*g"1(AS))"1(AS)V1y t
(41)
Q* - S[(AS)*Qy1(AS))"1S* V1[S1Vr1Qc[Vi*S1r1V-L'
232
NGT GEODESIA 87
