u>
r
M
r
M
r
Over het aansluiten van puntenvelden (2):
De aansluitingsvereffening1)
M
1
H2>.
l
fxP'l
i
i
1
IK!
door dr. ir. P. J. G. Teunissen, ir. M. A. Salzmann en ir. H. M. de Heus, Faculteit der
Geodesie van de Technische Universiteit Delft.
SUMMARY
On the adjustment for the connection of pointfields
In this article a general method is derived for connecting overlapping pointfields. In particular attention
is given to rankdeficiencies in the coordinate covariance matrices. A regularization method for singular
covariance matrices is given. It is shown that the linear least-squares estimators of the coordinates and
transformation parameters are invariant for the regularization method. No explicit use is made of the
theory of generalized inverses. Some numerical examples are given.
1. Inleiding
In het eerste artikel 1 ]2) is het model van het rang-
defecte lineaire tweede standaardvraagstuk uitgebreid
behandeld. In [1] hebben we onder andere laten zien,
dat het rangdefect van de designmatrix kon worden op
geheven door het introduceren van zgn. gewogen mini
mumcondities. De eigenschappen van de berekende
LKK-schatters, zoals de zuiverheid van de schatters en
de rang van hun covariantiematrices, zijn sterk afhanke
lijk van de gekozen set van gewogen minimumcondities.
Bij de zogenaamde aansluitingsvereffening, waarbij men
met twee (of meer) coördinaatbestanden te maken
heeft, welke in de regel op verschillende coördinaatdefi
nities zijn gebaseerd, zal men dus terdege rekening moe
ten houden met de genoemde afhankelijkheid. Men zal
bijvoorbeeld rekening moeten houden met eventuele
singulariteiten in de covariantiematrices van de coördi
naten.
In dit artikel wordt een algemeen aansluitingsmodel voor
het aansluiten van twee (of meer) coördinaatbestanden
geformuleerd. Er wordt rekening gehouden met een
eventueel rangverlies in de covariantiematrices. Twee
oplossingsmethoden worden gegeven. De twee metho
den verhouden zich tot elkaar zoals het eerste en tweede
standaardvraagstuk zich tot elkaar verhouden.
De eerste oplossingsmethode wordt afgeleid door ge
bruik te maken van de uit de vereffeningstheorie [2] of
[3] bekende formule van ,,xR-grootheden". We laten
zien hoe eventuele singuliere covariantiematrices kun
nen worden geregulariseerd zonder dat dit de LKK-
schatters van de coördinaten na aansluiting en de trans
formatieparameters beïnvloedt. De aansluitingsvereffe
ning (inclusief de genoemde regularisatie) worden aan
de hand van een uitgewerkt rekenvoorbeeld geïllus
treerd.
De tweede oplossingsmethode leiden we uit de eerste
af. Deze alternatieve methode maakt gebruik van S-
transformaties, wat voor het meest algemene geval van
aansluiting neerkomt op het in principe tweemaal toe
passen van de (gelineariseerde) gelijkvormigheidstrans
formatie. Ook voor deze methode wordt een rekenvoor
beeld gegeven.
1) Vervolg van de serie artikelen over het aansluiten van punten
velden. Deel 1 werd geplaatst in het meinummer 1987 van dit
tijdschrift.
Dit tweede artikel wordt geplaatst in twee gedeelten. Hieronder
volgt eerst een overzicht van de aansluitingsvereffening met een
voorbeeld. In het juli/augustusnummer volgt een alternatieve
formulering met behulp van S-transformaties.
2) De nummers [1] t.m. [8] verwijzen naar Literatuur" op p. 235
aan het eind van dit artikel.
NGT GEODESIA 87
2. Aansluitingsmodel
Veronderstel dat twee elkaar overlappende tweedimen
sionale netwerken netwerk (1) en netwerk (2) onaf
hankelijk van elkaar gemeten en vereffend zijn. We be
schikken dan over de coördinaten (x|", yj11), (xj21, y|2))
i 1,...n met bijbehorende covariantiematrices. Daar
de twee coördinaatbestanden een verschillende coördi
naatdefinitie kunnen hebben (d.w.z. verschillende ge
wogen minimumcondities [1]), zal in het algemeen voor
de verwachtingswaarden gelden dat:
cosa si na
-si na cosa
Met andere woorden, de twee puntenvelden worden
verondersteld gelijkvormig aan elkaar te zijn. We nemen
model (1) als uitgangspunt voor onze aansluitingsveref
fening. Daar het model niet-lineair is, zullen we het eerst
moeten lineariseren. Linearisatie van (1) geeft dan:
/[ax'»"
Axj2>
1 0 x° y°
0 1 y°-x°
Aa
Hierbij hebben we voor de eenvoud aangenomen, dat
voor de benaderde waarden van schaal en rotatie de
waarden A° 1 en a° 0 mogen worden genomen. Deze
keuze zal voor de meeste praktische toepassingen vol
doende goed zijn. Is deze keuze van de benaderde
waarden niet toereikend, dan zal men betere waarden
moeten berekenen en/of meerdere iteraties van de ge
lineariseerde vereffening moeten uitvoeren. Voor meer
informatie betreffende de berekening van benaderde
waarden en keuze van iteratiemethoden: [4], In vector
notatie kunnen we (2) schrijven als:
(3) E J(1> - E *<2>
waarbij
.Ax'h.Ayj1'«(2> Ax<2>,Ay<2>
t (AtxiAty,AX,Aa) en
Hebben we te maken met twee driedimensionale net
werken, zoals bijvoorbeeld bij de aansluiting van satel
lietnetwerken [5], [6], [7], 18], dan volgt het lineaire ver
band (3) uit de linearisering van de driedimensionale
gelijkvormigheidstransformatie.
Hanteren we de volgende notatie voor de partitionering
van de vectoren x111 en x'21 (fig. 1):
229
