X11}'PS
yXv"1»)
W *y
f-Q(1)
•(sfvj)
f-VXl
2
[Ps2QdPI2+ ~SPfl'1
(V1^
x2
x2
v^Sg'v^r1^*
sz[v*s2rV2
<59> 5&*:l"lps2
spf]
W2
(S2v2) s2
sx*
(sfsX)
V*
(W2)'1 0
v2s2(s2s2) XS2
(S^sjf^*
p;252(s*s2)-»s:v
f-0(1)]
f-
ê»(l)
U2)
2
2 'Vs2°
êM)
3
f
*1
*(1)
X1
12
x2
*(3)
2
_Q 1
022
x2
x<2)
2
-
+q(2)
y22
x3
x<2)
3
+q[2)
32
L y
Qd (d - d)
t
S2 (x2
r
y
1
X3
V.
X3
/V3,
(54) b)
c)
Formules (54a) en (54c) verkrijgen we door (13c) in twee
delen te splitsen. Een eerste deel, namelijk (54a), dat af
hankelijk is van het verschil d - d, en een tweede deel,
namelijk (54c), dat betrekking heeft op de met behulp
van t uit te voeren transformatie. Merk op dat x2 en x3
de LKK-schatters zijn van respectievelijk E{x^2)} en
E|x^2)|. Dus de coördinaatschatters x2 en x3 zijn gedefi
nieerd in het coördinatenstelsel van het tweede netwerk.
Formule (54b) volgt uit de eerste set van vergelijkingen
van (54c). Merk op dat t onafhankelijk is van de keuze
van de basismatrix S2, mits S2*V2 vierkant en regulier
is.
Met, zie (14a),
(55)
,-1,
V(d - d) V2(V2QdV2)"1V2 d
zouden we nu in principe de aansluitingsvereffening vol
gens (54) kunnen uitvoeren. Een probleem vormt echter
nog de berekening van (55). Immers, (55) veronderstelt
dat de basismatrix V2 bekend is. Deze matrix is echter
niet a priori bekend en zou daarom nog apart moeten
worden opgesteld. Dit probleem bestaat niet in (13), om
dat daar de matrix V2 eenvoudig uit de gelineariseerde
betrekking van de gelijkvormigheidstransformatie volgt,
zie (3). We hebben dus een andere, meer werkbare for
mulering van (55) nodig. Dit wordt bereikt door gebruik
te maken van de S-transformatie.
Laat
(56) Pc
I - Vg t S2*V23 1S2*
een willekeurige S-transformatie zijn (zie [1], [9], [10],
[11]. Dan is S2 een basismatrix zodanig dat S2*V2 vier
kant en regulier is. Laat S2 een basismatrix van de nul
ruimte N (S2*) zijn. Dan zijn ook de matrices (S2 V2) en
S2 V2 vierkant en regulier. Met S2*S2 0 en V2*V2 0
volgt dan dat
(57)
1
S2 S2 0
VX - S2 0
Hieruit blijkt, aangezien (S2V2) vierkant en regulier is,
dat de S-transformatie (56) ook kan worden geschreven
als
s2[V*s2]"1V2 s2
(58)
We zullen nu met deze formulering van de S-transforma
tie laten zien dat geldt:
waarbij de basismatrix S2 zodanig is gekozen, dat
(S2S2) vierkant en regulier is. Met behulp van (58)
kunnen we schrijven:
(60)
[Pc QaPc
1
(S2v2) JS2
F±*
0
1
b2
Deze matrix is regulier, indien de basismatrix S2 zo
wordt gekozen, dat de matrix (S2S2) vierkant en regu
lier is. Men mag dus bijvoorbeeld voor de basismatrix
S2 de matrix S2 of de matrix V2 kiezen. De keuze S2
S2 leidt meestal tot de eenvoudigste vorm van (60) (zie
voorbeeld).
Inverteren van (60) geeft:
<6l>
-1-* x
V,S„(S,S,)
SoSoV1
2
0 I
-1—*
ofwel:
(62)
-1
K-l„*c
-1-*
Sc
2^2^2^ ^2^2^2^d^2^ V2S2(S2S2) j2
S g S 2 *S g1 S 2 S 21S 2
Na- en voorvermenigvuldiging met PS2 en zijn ge
transponeerde geeft tenslotte (59), aangezien geldt:
V„
1
P sx 0
2 2
en
22
Hoewel het linkerlid van (59) er ingewikkelder uitziet dan
het rechterlid, is het linkerlid toch eenvoudiger te bere
kenen. Immers, de S-transformatie PS2 is in tegenstel
ling tot V2 vrij gemakkelijk op te stellen (zie [1]2). Sub
stitutie van (59) in (55) geeft dan met (54) tenslotte de
alternatieve formulering van de oplossing van model (4):
(63)
*1
X1
g12
*2
„(U
2
-o*1)
g22
x2
x<2>
2
+0(2)
22
_x3
x(2)
3
k.
+0(2)
+g32
J-cJ-'l-ln
PSIPS,Vs,( S2SI 1 V
b)
c)
- x2>
*2
„1
x?
"V?
x3
x3
-V1
3
De matrix PS2QdPs2 is de singuliere covariantiematrix
van de S-getransformeerde verschilvector PS2 d De ad
ditionele term S2S2* zorgt voor de regularisering.
Noteren we de geregulariseerde covariantiematrix als
PS2d,PS2d*, dan kan (63a) met behulp van de ,,xR"-
formule (8b) ook worden geschreven als:
(63a')
X1
i s2
2
x^.P d*
z s2
x(2) p d*
x(2) p d*
3 s2
ï-1
NGT GEODESIA 87
271
