R(QV A1)
pjy=(i-pfl)y
PAy R(A)
met ps 1 vWvV V*
(9) a*xx
Q,
II X 2 x*Q~1x
Uit de tekst zal blijken voor welke gewichtsmatrix Q"1 is
gekozen.
staat voor benaderd.
Indien A een basismatrix is, dan definiëren we de matrix
Pa als
PA A(A*Q^1A)"1A*Qy1
Indien A een rangdefect heeft, dan definiëren we de ma
trix PA als
PA (AS)t(AS)*Q-1(AS)]_1(AS)*Qy1
waarbij AS een basismatrix is van R(A).
Matrix PA is idempotent, d.w.z. PAPA=PA, en kan geo
metrisch worden geïnterpreteerd als een projectiematrix;
zie fig. 1 en [3].
Fig. 1. De idempotente matrix PA als projector.
3. Functies van een deel der onbekenden
In [1] hebben we laten zien, dat bij een LKK-vereffening
onder de nulhypothese
(1) H yi»( Ax, Q rang A r.
O y A
het volgende geldt:
(1) Een lineaire functie 0 a*x is zuiver schatbaar
onder H0 dan en slechts dan als er een vector
I e IRm bestaat, zodanig dat
(2) a A*1
(ii) Indien 0 a*x zuiver schatbaar is, wordt de MVZL-
schatter van 0 gegeven door
(3) 0 a x
waarbij x een willekeurige oplossing van de nor
maalvergelijkingen
(4) A*Qy1Ax A*Q~*y
mag zijn.
(iii) Als x' een willekeurige LKK-schatter van x onder
H0 is met covariantiematrix dan wordt de
MVZL-schatter van
(5) xQ Psx
gegeven door
(6)
x S[(AS)*Qy1(AS)]"1(AS)*Qy1y P,.**
Q. S(AS*Qy1(AS_1S* PsQ-, Ps*
Voor functies van een deel der onbekenden x gelden ver
gelijkbare resultaten. Ten einde een deel der onbeken
den te beschouwen, maken we de volgende opsplitsing:
(7)
X Xj x2 a aj a2
A Ax: A2 V1* V^*: 'v£*
al
A1
0
A2
Analoog aan (i)-(iii) geldt dan:
(i') Een lineaire functie 0 a,*x, is zuiver schatbaar
onder H0 dan en slechts dan als er een vector
I e IRm bestaat, zodanig dat
(8)
(ii') Indien 0 a,*x, zuiver schatbaar is, wordt de
MVZL-schatter van 0 gegeven door
waarbij x, een willekeurige oplossing van de gere
duceerde normaalvergelijkingen
(10) A^Q AjXj AjQ y
met
y ii "fy
*1 I PA >A
mag zijn.
(iii') Als x,' een willekeurige LKK-schatter van x, onder
H0 is met covariantiematrix Qx., dan wordt de
MVZL-schatter van
(li)
"01
met Ps I
sl
gegeven door
vi[sl*vi]'lsi*
(12)
Xj S1[(A1S1)*Qy1(A1S1)]"1(A1S1)*Qy1y
P Q.,P*
S1 X1 S1
Hierbij is aangenomen dat A2 een basismatrix is. Dit
geldt voor netwerken altijd zolang (in 2D) x, de coördi
naten van tenminste twee punten omvat. Het bewijs van
(i')-(iii') kan men vinden in [3].
4. Résumé precisie
De precisie van de LKK-schatters van de onbekenden x
na een vereffening onder de nulhypothese (1) wordt be
schreven door de covariantiematrix Qx. Voor de beoor
deling van de precisie is bij puntsbepaling en het aanslui
ten van netwerken doorgaans alleen de precisie van
coördinaten van belang, eventueel zelfs slechts van een
gedeelte van de coördinaten. Dit te beoordelen gedeelte
van de onbekenden duiden we aan met x,; Qs, is het
corresponderende gedeelte van Qx. Voor de beoorde
ling van de precisie beschouwen we nu als in hoofdstuk
3 een willekeurige schatbare functie 0 van x,:
(13) 0 a*;^
A
De precisie-eisen aan 0 worden in het algemeen gefor-
muleerd met behulp van een zgn. criteriummatrix Hx,
voor de coördinaten x,: geëist wordt dat
330
NGT GEODESIA 87
