^(Vi^VsjV^Wi)"1] 0
V
(14)
alQ*1al al\al
0
v y
e R
QSl en HX1 kunnen hierin ieder een eigen, willekeurige
coördinaatdefinitie hebben. Voor QX) is deze afhankelijk
van de gekozen set van gewogen minimumcondities [1],
terwijl HX1 zelfs geen betrekking hoeft te hebben op
schatbare coördinaten (als HX1 in een zgn. a-stelsel ge-
gevenjs), zolang maar a*Hxla, het gewenste criterium
voor 0 levert.
Met de basismatrix
van N A^: A,,
volgt, dat de conditie
al
e R
Ai
0
A2
v. y
ook kan worden geschreven als
(15)
V^*ax =0 of a1 N(Vj)
Dus, als V, een basismatrix is van N(Vj*), kunnen we
(14) ook schrijven als
(16) a? a*vtQ- V,a a*V*H V,a V a
0 1 X1 1 1 X1 A
Aan deze ongelijkheid wordt voor alle a voldaan, indien
alle eigenwaarden \x in het algemene eigenwaardepro
bleem
(17) I - v?Avx 0
kleiner of gelijk zijn aan 1 pmax 1.
Een praktisch probleem bij het toepassen van (17) is nog
de berekening van de basismatrix V,. Daarom wordt V,
uit het eigenwaardeprobleem geëlimineerd. Met (12)
volgt
(18) V*Qjïj (V*S1)[(A1S1)*Q-1(A1S1)]"1(V^S1)*
Vervolgens schrijven we, gebruik makend van
-
VlPSl V1
I - S^(s|*Sj)_1Sj*) S1(S*S1)"1S* en
sl(S*Si)-1S^si - PSi
(19) - (v1s1)(s1s1)-1s*PSiHXiP;iS1(s^s1)-i(v1s1)'
Met (18) en (19) herleiden we het eigenwaardeprobleem
(17) tot
I (V*S1)[((A1S1)*Q"1(A1S1)]'1
- iJ[(S*S1)-1S*PsiHXiP*iS1(S*S1)-1]](V*S1)* I - 0
ofwel, gebruik makend van het feit dat V*S, vierkant en
regulier is
(20)
[(AiSi)*Q-1(A1S1)]-1 -
Deze formule lijkt nogal ingewikkeld, maar kan eenvou
dig worden berekend, indien het coördinatenstelsel
wordt gedefinieerd door het niet-stochastisch veronder
stellen van twee netwerkpunten, de zgn. basispunten. In
dat geval kan de eerste matrix in (20) worden berekend
als de inverse van de normaalmatrix, gereduceerd voor
x2, waaruit de basispunten zijn geëlimineerd. Voor de
tweede matrix, de S-getransformeerde criteriummatrix,
zijn analytische formules voorhanden; zie [4] en [5].
Zoals gezegd kan de vector x, betrekking hebben op
alle coördinaten van het puntenveld, maar ook op
slechts een deel (deelnet). Met behulp van deelnetten
kunnen dan qua precisie zwakke delen van het punten
veld worden gelokaliseerd.
Naast het controleren of de precisie aan een gesteld cri
terium voldoet, kan het algemene eigenwaardeprobleem
(20) ook worden toegepast om de parameters in HX1 zo
danig te bepalen, dat een goede vervangingsmatrix voor
O*, wordt verkregen. Laten we de structuur van Hx,
onveranderd en nemen we genoegen met een met de
scalar c geschaalde HX1, d.w.z. c.Hxl, dan kan voor de
scalar c de grootste eigenwaarde pmax van (20) worden
genomen. De matrix c.Hxl is op deze wijze een heel
voorzichtige vervanging van QX1de precisie wordt
nooit onderschat, maar een groot aantal schatbare func
ties van x, kunnen wel flink worden overschat.
Indien deze wijze van vervanging is toegestaan, heeft zij
het grote voordeel, dat men de precisie van de vector x,
met slechts een paar parameters kan beschrijven. Voor
het aansluitingsprobleem van vrije netwerken aan het
RD-netwerk heeft deze methode al zijn grote nut be
wezen; zie [4] en [7]. De vraag of deze methode van ver
vanging ook op geheel andere aansluitingsproblemen
adequaat kan worden toegepast, moeten we voorlopig,
vanwege het ontbreken van kennis omtrent de juiste
structuur van HX1, nog onbeantwoord laten.
5. Résumé toetsingstheorie
Met toetsing wordt beoogd de aannamen (de zgn. nul
hypothese) omtrent het mathematisch model, dat be
staat uit functiemodel en kansmodel, te controleren. In
dien deze nulhypothese niet juist is, zijn de berekende
LKK-schatters y en x niet optimaal en geeft de precisie
een onjuist beeld van de mogelijke afwijkingen van de
berekende schatters ten opzichte van hun verwachtings-
waarde.
De nulhypothese wordt mathematisch beschreven als
(21)
y ■v N( A x
mxl mxn nxl
Qy>
rana A
'A
NGT GEODESIA 87
Naast het controleren van H0 heeft de toetsing ook tot
doel de eventuele onjuistheden in de nulhypothese zo
scherp mogelijk te kunnen aanduiden. Dit laatste ge
beurt door na te gaan of een ander, ruimer model, een
zgn. alternatieve hypothese Ha. beter bij het waarne
mingsmateriaal past dan H0 om vervolgens:
hetzij de nulhypothese aan te passen aan het waar
nemingsmateriaal, bijvoorbeeld foutieve waarnemin
gen weglaten, standaardafwijkingen aanpassen: H0
wordt vervangen door Ha..
hetzij het waarnemingsmateriaal aan te passen aan
de nulhypothese, bijvoorbeeld fouten verbeteren,
overmeten.
Bij een zorgvuldige inschakeling van het model zal de
331
