■s)
er
Toepassing van het matrix-nul-produkt in
vereffeningsberekeningen1)
-al
r i -1 1 o 1
door doc. dr. inz. W. Senisson, Instituut voor Geodesie en Fotogrammetrie in Olsztyn,
Polen.
SUMMARY
Application of zeroing tables in adjustment computations
In this paper the technique of cracovian root adjustment by „zeroing tables" is suggested. The possibility
of limiting the types of operations and notations may offer a simplification for many computer algo
rithms.
The transformation of the rectangular primary table a into elementary table b (triangular or non-
triangular) is presented by simple numerical examples.
The application of zeroing tables to parametric observation adjustment is illustrated via cracovian formu
lae and a simple numerical example. In this example also the matrix notation is introduced for the zeroing
of tables.
The zeroing technique for simultaneously computing the unknowns by zeroing and a full system of
coefficients of condition equations occurring in geodetic surveying is also presented.
The possibility to compute the cracovian roots table (also non-triangular) by zeroing directly from the
observation equations, surpassing the determination of the normal equations is discussed as well.
a
g
h)
Inleiding
Door Hausbrandt [3]2) is een methode aangegeven om
bij een tabel (dit is een rechthoekig getallenschema, ver
gelijk een matrix) a een produkt van „driehoekscracovia-
nen" te berekenen. Het algoritme volgt uit
(1)
Door de auteur is in [4] de suggestie gedaan de methode
te gebruiken voor berekening van een „wortel uit de cra-
coviaan". De benaming „driehoeks-cracoviaan" wordt
gebruikt voor cracovianen waarvan de beneden-diago-
naal-elementen nul zijn (dus analoog aan het begrip
bovendriehoeksmatrix).
Door gebruik te maken van de hierna beschreven reken
techniek is het mogelijk eenvoudiger algoritmen voor
computerberekeningen met matrices te ontwerpen.
De formule (1) van Hausbrandt wordt in de matrixnotatie
Het produkt van cracovianen is gedefinieerd als een
„kolom-maal-kolom" produkt in plaats van, zoals in de
matrixrekening, een „rij-maal-kolom" produkt. Met
deze conversieregel is gemakkelijk vast te stellen, dat
beide formuleringen dezelfde bewerking aanduiden.
De wortel uit de cracoviaan
Het is niet nodig de coëfficiënten van de normaalvergelij
kingen voor een vereffening met het tweede standaard
vraagstuk te berekenen om uit de tabel a, bestaande uit
de coëfficiënten van n correctievergelijkingen met k on-
0
1) Vertaling en Nederlandse bewerking door G. W. Eversdijk en
F. J. J. Brouwer.
Het hoofdstuk „Slotopmerkingen" is toegevoegd door deze
redactieleden.
2) De nummers [1] t.m. (4) verwijzen naar „Literatuur" op p. 409
aan het eind van dit artikel.
bekenden, een tabel b te berekenen die voldoet aan de
voorwaarde
a2 b2 (2)
Dit komt omdat deze zogenaamde „cracoviaanwortel"
b van a2 is te verkrijgen zonder het kwadraat van a te
bepalen.
Uit de eerste tabel a zijn de elementen van de tweede
tabel b eenvoudig te vinden met behulp van het nul-
produkt van de cracoviaan
al2
ib 0 waarin i j/-1 (3)
Ter vergelijking:
In matrixnotatie zou formule (3) worden geschreven als
T
0
(-!) -
De formule (3) geeft aan, dat ieder produkt van twee
cracoviaankolommen gelijk aan nul moet zijn. Het is dan
mogelijk uit ieder nulprodukt van twee cracoviaankolom
men een nieuw element van de tabel b te berekenen. De
afgeleide tabel b die wordt berekend uit een nulprodukt,
behoeft geen driehoekscracoviaan te zijn (maar is door
kolomverwisseling wel vaak tot die vorm te brengen).
In het eenvoudige voorbeeld (4) worden de begin- en
eindtoestand van de berekening van tabel b getoond.
Deze omrekening van tabel a naar de „driehoekstabel"
b is uitgevoerd met behulp van formule (3).
0 4-444
-1 1-12 1
-1 10 0 0
1-1 0 2 2
p22 ^23 ^24 b25
0 0 0 b45
0 0 0 0 b,*
1
-1
1
0
1
0
4
-4
4
4
-1
1
-1
2
1
-1
1
0
0
0
1
-1
0
2
2
II
2
-2
1
0
1
4
-4
4
4
0
1
-2
-1
0
0
2
2
0
0
0
0
Fc\
(4)
Voorbeeld van de omrekening van tabel a naar tabel b.
NGT GEODESIA 87
407
