lo ie/
(9)
In het voorbeeld (4) wordt een nieuwe eenvoudiger nota
tie voor de berekening van het nulprodukt ingevoerd. De
dubbele horizontale lijn geeft aan dat de tabellen aan
elkaar gelijk moeten zijn in die zin, dat beide tabellen,
met zichzelf vermenigvuldigd, hetzelfde resultaat op
leveren. Dit betekent, dat vermenigvuldiging van twee
kolommen voor beide tabellen hetzelfde resultaat op
levert. De berekening van de niet-nul termen van b is be
gonnen met de berekening van bn 2 en daarna zijn
de andere elementen van de eerste rij berekend b12
"2, b13 1, b14 0, b16 1.
Noteren we a en b in kolom-ontbonden vorm, dus a
(a,, a2..a5) en b (b„ b2..b5), dan moeten de ele
menten van de eerste rij van b zo worden berekend, dat
geldt
Vj bnib,j a, .a, (5)
Inderdaad geldt dus: b^ a,2, a22 a32, a42, a52,
12 O2 (-1)2 -1 )2 12 4.
Op dezelfde manier worden de elementen van de vol
gende rij, beginnend bij b^ a2.a2 b12 en vervol
gens b^.bji a2.aj - b12b4i, berekend. De volgorde
van berekening is in voorbeeld (4) aangegeven met de in
de cirkels vermelde volgnummers. In dit voorbeeld is de
laatste kolom een somkolom (per rij gesommeerd) waar
mee de berekening wordt gecontroleerd (en waarmee in
een voorbeeld is aangetoond dat rangdefecten de drie-
hoeksvorm verstoren, immers b66 0).
In het volgende voorbeeld (6) is de bewerking op tabel
a in een andere volgorde toegepast, en in tabel b zijn de
niet-nul coëfficiënten niet in een driehoek gerangschikt
(maar door kolomverwisseling is dit wel te realiseren).
0
10 111'
'-1 0 1 1 1
4 4 0 -4 4
4 4 0-44
1 2-1-1 1
1 2-1-1 1
O
O
O
O
O
O
-12 10 2
CM
O
CN
II
II
bn b12 b13 b14 b15
CM
O
CM
l
b2i ^22 0 b24 b25
4 4 ©-4 4
_cT
.Q
O
_cT
O
®-2 0 1-1
in
-Q
O
O
.O*
O
0 2 0 2
O
O
O
O
cr
0 0 0 0
(6)
Voorbeeld van omrekening van tabel a naar niet-driehoekige
tabel b.
De bewerkingsvolgorde is ook in dit voorbeeld aange
geven met volgnummers in cirkels. Als eerste element
van de eerste rij van b is hier b13, (b23 a3.a3), be
rekend. Ook nu verloopt de berekening van de elemen
ten van b rij na rij. Alleen de keuze van het eerste niet-
nul element is anders. Er ontstaat dan een tabel met
„verwisselde driehoeksvorm" en met andere getallen.
Bij de oplossing van vergelijkingen volgens de methode
der kleinste kwadraten, c.q. de daaruit ontwikkelde ver
effening met het tweede standaardvraagstuk, kan de
methode met voordeel worden toegepast. Bij het twee
de standaardvraagstuk met een eenheidsmatrix voor de
gewichten wordt de parametervector x van de lineaire
vergelijkingen y A x berekend uit
AT A x AT y
408
en vervolgens de residuen of „correcties"
A x y v
en de kwadratensom uit
uit
yTy -
xT AT A x
H en HT H 0
(7)
h2.hj moeten dan B, z en e zo wor-
v'v
Stel nu dat
A y'
iB iz
Met H (h,
den berekend dat geldt
Vy hj hj 0 i,j e {1,2,.mj
Passen we nu de berekeningsmethode voor de wortel uit
de cracoviaan toe, dan blijkt uit het voorgaande dat uit
werking volgens deze voorwaarde een bovendriehoeks-
matrix oplevert met de volgende eigenschappen
(8)
Als voorbeeld van toepassing van het voorgaande volgt
nu een uitwerking in een schema volgens (7):
B x z
AT A BT
B
AT y BT
z
yT y ZT
z eT
ZT z XT
AT A x
eT e vT
V
A
y
V
1 -1 1
0
1
0 4-4
4
0
-1 1 -1
2
1
-1 1 0
0
1
1 -1 0
2
1
B
z
e
2 -2 1
0
0
0 4-4
4
0
0 0 1
-2
0
0 0 0
2
2
x
0 1 2
1
Voorbeeld van oplossing van lineaire vergelijkingen volgens de
methode der kleinste kwadraten.
De bewerkingsvolgorde in het schema is als volgt:
bereken rij na rij de elementen van B en z en ten
slotte e
bereken door substitutie van z in B de elementen van
x;
substitueer opklimmend in B en A ter berekening van
Bx-zenAx-y v.
Na deze bewerkingen resteren in de laatste kolom v en
e Ter controle wordt nu nog berekend
vT v e2 E, de verschuivingsgrootheid.
Met een kleine modificatie is het schema bruikbaar voor
berekening van x volgens het tweede standaardvraag
stuk met ongelijke gewichten voor de waarnemingen.
Veronderstellen we dat Gv een diagonaalmatrix is, dan
kan deze worden ontbonden in
Gy 9y 9y
Met A gy A en y gy y in het schema wordt dan
de oplossing berekend
x (AT Gy A)"1 AT Gy y
met de vector gyv en de verschuivingsgrootheid E.
NGT GEODESIA 87
