p -'hp -'hp
2hp -'hp
p
'hp -'hp 'hp
'hip 'hp -'hp 'hip 'hp
'hp 'hp -'hp 'hp -'hp
'hp 'hp -'hp -'hp 'hp
'hp 'hp 'hp 'hip -'hip
'hp 'hp 'hp
x2
-'hp p -'hp
'hp -'hp 'hp
-'hp 2hp
'hip 'hp -'hp 'hip -'hp
p
'hp -'hp 'hp 'hp -'hp
'hp 'hp 'hp 'hp 'hp
'hp -'hip -'hp 'hip 'hp
ie
'A
iB
Voorwaardevergelijkingen uit de correctievergelij
kingen
Behalve voor vereffening volgens het tweede standaard
vraagstuk is het algoritme ook bruikbaar voor de bereke
ning van de coëfficiënten van een voor oplossing vol
gens het eerste standaardvraagstuk geschikte U matrix.
Daartoe wordt analoog aan het vorige hoofdstuk een bij
passende bovendriehoeksmatrix berekend bij de matrix
(A I), met I als de eenheidsmatrix.
Wordt gesteld
I
iC H en HT.H 0
\0 iU/
dan is
AT A BT B
AT BT C
dus AT A BT C CT B en C CT
UT U I - CTC
dus ATUT U A
waaruit volgt
U A 0
Het is uiteraard ook mogelijk, door verwisseling van U en
A in H, een bij U behorende A matrix te berekenen.
Bovendien is het rekentechnisch vaak handig het algo
ritme toe te passen op de matrix (A kl).
Als voorbeeld van toepassing van het voorgaande volgt
nu de berekening van de matrices die bij de vereffening
van het in fig. 1 afgebeelde waterpasnet worden ge
bruikt. De waarnemingen zijn genummerd van X, tot
X6; de onbekenden als H„ Hn en Hm.
I
AT A - BT C CTC CTBT 0
bekend punt
O nieuw punt
H, H.,
1
-1 1
-1
1
1
U matrix
1e s.v.
U matrix
ronde
getallen
2 10-1-1 1
0 3 2 3 -1 -1
0 0 10 1 1
De bewerkingsvolgorde bij de berekening van de B
matrix mag willekeurig worden gekozen. In het volgende
voorbeeld is dit gedaan. Er ontstaat een andere matrix,
die echter wel aan de gestelde voorwaarden voldoet.
H, H„ H„
X,
1
1
-1 1
1
X3
-1 1
1
X„
1 -1
1
X5
1
1
X6
-1
1
CO
1a)
CO
Slotopmerkingen
Het in dit artikel besproken algoritme kent meer toe
passingen dan door de auteur wordt aangegeven. Ook
vereffening volgens het eerste standaardvraagstuk kan
ermee worden uitgevoerd.
Als de variantiematrix van x een diagonaalmatrix is, dan
kan worden gesteld
Q„ q.q en q.g I
Met
'q.UT
H en HTH 0
iB
9-x
iz
kan worden berekend
U Q UT BTB
- U x BTz
waaruit volgt, dat de correlaten kunnen worden bere
kend uit B k z
Verder geldt
e2 xTG x - zTz
Een volle variantiematrix heeft dezelfde eigenschappen
als een matrixprodukt ATA; de coëfficiënten ervan zijn
te beschouwen (en vaak zo ook ontstaan) als rij-maal
kolom-produkten. De matrix is dus te ontbinden in een
produkt van driehoeksmatrices.
Stel Q DTD en D (d, d2. dn), dan moet worden
voldaan aan Vj, 0^= dj df
In het voorgaande is uitgewerkt hoe op deze voorwaarde
een driehoeksmatrix kan worden ontwikkeld.
Een bovendriehoeksmatrix is te inverteren, beginnend
met de diagonaal en vervolgens de nevendiagonalen, tot
een bovendriehoeksmatrix, zonder berekening van de
terminant of geadjugeerde.
Met het door Hausbrandt aangegeven algoritme, in
samenhang met het algoritme voor het inverteren van
driehoeksmatrices, kunnen dus naast de eenvoudige
voorbeelden in het voorgaande ook zeer gecompliceerde
berekeningen uit de mathematische geodesie worden
aangepakt.
Literatuur
1. Banachiewicz, T., Etudes d'analyse pratique (avec I'introduc
tion en anglais). Cracow Observatory Reprint 22, 1938.
2. Banachiewicz, T., Rachunek krakowianowy. PWN, Warszawa,
1959.
3. Hausbrandt, S., Rachunek wyrównawczy i obliczenia geode-
zyjne. PPWK, Warszawa, 1970.
4. Senisson, W., Application of zeroing tables to adjustment and
mutual transformations of the parametric and condition me
thods. Zeszyty Naukowe 90, AG-H, Geodezja, Kraków, 1985.
NGT GEODESIA 87
409
