PstPs"i1)p.
sVY'p',*'1'
aansluiting blijft de vervorming l^x^'H2 echter „zitten
waar die zit". Daarom, vergelijk met (89):
(93)
xB
i.x
k!1)»
i 1
Deze formule is exact. Ook hier is dus de betrouwbaar
heid slechter dan in het geval van een strenge LKK-
aansluiting.
Hypothesen Hc
We hebben ViX(1l 0. Stel nu dat ook alle coördinaten
van netwerk (2) ongewijzigd zouden blijven. Dan zou
analoog aan (92) gelden dat AJ;S Bij de pseudo
LKK-aansluiting worden echter de coördinaten van het
deelnet der aansluitpunten gelijkgesteld aan die van net
werk (1). Dit betekent, dat de vervorming A$2 van het
deelnet van aansluitpunten van netwerk (2) bij de pseu
do LKK-aansluiting niet wordt overgenomen en dus van
A|I2,2ix3 moet worden afgetrokken. Daarom geldt het vol
gende:
(94)
Ook deze formule is exact. Vergelijking van (94) met (90)
of (91) laat zien, dat de betrouwbaarheid voor wat be
treft de hypothesen Hc bij de pseudo LKK-aansluiting
beter is dan bij de strenge LKK-aansluiting. Dit komt,
omdat bij de pseudo LKK-aansluiting een deel van de
vervorming van netwerk (2) niet wordt doorgegeven.
10. Precisie bij aansluiting
De precisie van de coördinaten na aansluiting wordt be
schreven door hun covariantiematrix. Deze covariantie-
matrix wordt verkregen door toepassing van de voort-
plantingswet der covarianties op de coördinaatbereke
ningsformules. Voor de LKK-aansluiting zijn deze formu
les in het tweede artikel [2] afgeleid; zie formules (13) en
(63). De coördinaatberekeningsformules voor de pseudo
LKK-aansluiting aan netwerk (1) verkrijgt men dan door
substitutie van Q'41 0.
De precisie van de LKK-aansluiting is uiteraard beter dan
die van de pseudo LKK-aansluiting. Immers, zoals aan
gegeven in het eerste artikel [1] is minimale variantie één
van de eigenschappen van de LKK-schatter van schat-
bare functies. Tevens zal bij LKK-aansluiting de precisie
van het puntenveld na aansluiting beter zijn dan vóór de
aansluiting.
Bij de pseudo LKK-aansluiting aan netwerk (1) blijft ech
ter de precisie van het eerste netwerk onveranderd, ter
wijl de precisie van het tweede netwerk beter of slechter
wordt, afhankelijk van het feit of de precisie van de aan
sluitpunten in netwerk (1) beter dan wel slechter is dan
de precisie van de aansluitpunten in netwerk (2). Im
mers, bij pseudo LKK-aansluiting zijn de coördinaten van
de aansluitpunten na aansluiting die van netwerk (1)
voor aansluiting.
Wat betreft het testen van de precisie na aansluiting kan
men dezelfde procedure volgen zoals aangegeven in
hoofdstuk 4, dat wil zeggen door de covariantiematrix
van de coördinaten via het algemene eigenwaardepro
bleem te vergelijken met een criteriummatrix. Ook ten
aanzien van het opstellen van een vervangingsmatrix
kan men in principe dezelfde weg volgen zoals aangege
ven in hoofdstuk 4. Het zal echter duidelijk zijn, dat men
in vergelijking met de precisiebeschrijving van een
zelfstandig homogeen netwerk meerdere parameters
nodig zal hebben voor de precisiebeschrijving van aan
gesloten puntenvelden, vooral als het een aansluiting
van puntenvelden betreft welke langs geheel verschil
lende weg tot stand zijn gekomen.
Het probleem van de precisiebeschrijving wordt hierbij
vooral bepaald door de relatieve precisie tussen de coör
dinaten x, en x3 na aansluiting. We zijn nog niet in staat
gebleken een aantal bijzondere aansluitingsproble
men daargelaten om een goede en tegelijkertijd sim
pele vervangingsmatrix te construeren voor het alge
mene aansluitingsprobleem. Het vinden van meer gedif
ferentieerde vervangingsmatrices, met eenvoudige en
realistische schattingsmethoden voor de precisiebe-
schrijvende parameters en de mogelijkheid van een
variabele afstemming op de praktische behoefte, heeft
dan ook in het kader van de aansluitingsproblematiek
prioriteit.
11. Samenvatting
In dit artikel zijn we ingegaan op de kwaliteitsaspecten
van de aansluitingsvereffening. Achtereenvolgens zijn
aan de orde gekomen de algemene toetsings-, betrouw
baarheids- en precisietheorie, de toetsing bij aansluiting
en de precisie en betrouwbaarheid bij respectievelijk een
LKK en pseudo LKK-aansluiting; zie ook [9],
Bij de aansluiting zijn we uitgegaan van drie verschillen
de klassen van alternatieve hypothesen: HA, een model-
fout in E|xm) ten gevolge van een onontdekte fout in
netwerk (1); HB, een modelfout in de coördinatenvector
van de aansluitpunten ten gevolge van bijvoorbeeld een
puntidentificatiefout of een affiene deformatie; Hc, een
modelfout in E{xt2'] ten gevolge van een onontdekte
fout in netwerk (2). De toetsing bij aansluiting kan
slechts betrekking hebben op de hypothesen HB. Hier
voor hebben we de globale en b-dimensionale toets-
grootheid met bijbehorende inwendige betrouwbaarheid
afgeleid. De uitwendige betrouwbaarheid van alle drie
de klassen van alternatieve hypothesen hebben we met
behulp van de A-grootheden beschreven, zowel voor de
LKK-aansluiting als pseudo LKK-aansluiting. Deze A-
grootheden geven dan samen met de a posteriori preci
sie van schatbare functies de mogelijkheid om een
bovengrens te geven voor de invloed van modelfouten
op de onder de nulhypothese berekende schatbare
functies.
Met dit derde artikel sluiten we de algemeen theoreti
sche beschouwingen van de aansluitingsproblematiek
af. Met behulp van de gepresenteerde theorie zullen in
het vierde en laatste artikel praktische voorbeelden wor
den uitgewerkt voor verschillende toepassingen, waarbij
(met enige vereenvoudigingen in het kansmodel) veelal
analytische oplossingen kunnen worden gegeven.
Literatuur
1. Teunissen, P. J. G., M. A. Salzmann en H. M. de Heus, Over
het aansluiten van puntenvelden (1) Het rangdefecte lineaire
tweede standaardvraagstuk. NGT Geodesia 1987, no. 5, p.
181-188.
2. Teunissen, P. J. G., M. A. Salzmann en H. M. de Heus, Over
het aansluiten van puntenvelden 12) De aansluitingsvereffe
ning. NGT Geodesia 1987, no. 6, p. 229-235 en NGT Geodesia
1987, no. 7/8, p. 270-273.
3. Teunissen, P. J. G., M. A. Salzmann en H. M. de Heus, Theo
ry of Connecting Geodetic Pointfields, with applications. TU
Delft, in druk, 1987.
9. Werkeenheid Mathematische Geodesie en Landmeten, TU
Delft, Syllabus POM Post-academische Overzichtscursus
Mathematische Geodesie. In druk, 1987.
10. Vaessen, E. M. J., Enkele aspecten van het blokvereffenings-
programma FOTEF. Afstudeerscriptie, Afdeling der Geodesie,
Delft, 1983.
400
NGT GEODESIA 87
