Vix215
,B
Ad (3): affiene vervorming
Indien we een mogelijke affiene vervorming onderzoe
ken, dan wordt
(28)
Ci
2nx2
Met [3]-(32) vindt men na enig rekenwe.rk voor de
toetsgrootheid:
(29)
U U V V
(a +6 '4(u uv v-(u v)
(êd_ êd
UU +VV
UU +VV
met een verdeling als in [3]-(26).
In dit geval vinden we voor de grenswaarde-ellips even
eens een cirkel met straal
(30)
(a2+g2)X.
2
4(u uv v-(u v)
r*i
U U V V
We kunnen de term
(31)
2
4(u uv v-(u v)
U U V V
die in (29) en (30) voorkomt, nader analyseren. We ge
bruiken daartoe het inwendig produkt van de vectoren u
en v. Het inwendig produkt is gedefinieerd als:
u,v
U I V U V
(32a)
of
(32b) u.v l I u II II vil cos<tu y
met <)>u v de hoek tussen de vectoren u en v. We kunnen
met behulp van (32) term (31) schrijven als
(33)
4(Huil2 IIvil2 (1-p2))
II Gil2 II vil2
met
(1-p2) 1 - cos2<(>- -
We kunnen p2 zien als een maat voor de geometrische
correlatie tussen de vectoren en v (zie fig. 1, waar we
voor twee puntenvelden deze term illustreren).
1 V
v au
u v 0
u v au u
p2 0
p2 i
Fig. 1. Geometrische correlatie tussen v en v.
We zien dan dat, indien alle aansluitpunten op één lijn
liggen, de inwendige betrouwbaarheid (30) oneindig
slecht wordt (33) wordt dan namelijk 0 zodat we
in een dergelijk geval niet op een affiene vervorming
kunnen toetsen. Naarmate de aansluitpunten regelmati
ger zijn verdeeld, kunnen we scherper op een mogelijke
affiene vervorming toetsen.
Nadat we de toetsing en de inwendige betrouwbaar
heidsbeschrijving van de aansluitingsvereffening hebben
beschreven, dient nog de uitwendige betrouwbaarheid
te worden geanalyseerd. Zoals bekend [3] zijn bij een
aansluitingsvereffening drie klassen van alternatieve
hypothesen van toepassing voor de beschrijving van de
uitwendige betrouwbaarheid.
In het algemeen zullen bij een aansluitingsvereffening de
A-grootheden, namelijk Aj", en ^S2i2.*3 n'et meer be
schikbaar zijn. Men zal dan om tot een betrouwbaar
heidsbeschrijving te komen voor de alternatieve hypo
these Ha een modelfout in E{xm) ten gevolge van
een onontdekte fout in netwerk (1) of Hc een
modelfout in E{x(2)j ten gevolge van een onontdekte
fout in netwerk (2) afschattingen moeten maken. In
dien men dan bovendien een idee van de grootte van de
betrouwbaarheid in het deelnet van de aansluitpunten in
beide netwerken heeft (A'"2 en A®2) dan kan men met
behulp van de benaderingsformules [3]-(86) en [3]-(91)
een redelijke afschatting maken van de uitwendige be
trouwbaarheid behorend bij deze alternatieve hypothe
sen. De exacte formules [3]-(82) en [3]-(90) zal men
slechts in bijzondere gevallen kunnen toepassen.
Voor een mogelijke modelfout in Ejx^'l of E[x^2lj, de al
ternatieve hypothese HB, kan men echter wel de uit
wendige betrouwbaarheid berekenen. We gaan daar
voor in dit voorbeeld uit van [3]-(89'):
(34)
XB
i,X,
V.x
(1)
i 2
P. fP Q^p! s^si*]-1p. V.x.
s2" s2 22
Sj'i 2
(1)
We beperken ons dus tot het deelnet van de aansluit
punten. De toepassing van (34) is in ons voorbeeld een
voudiger dan het voortplanten van de grenswaarden met
behulp van (15) en de berekening van A®i2 met behulp
van [3]-(60) of [3]-(63). Met [3]-(68) geldt:
(35)
ps [Ps Qi1)ps §1s-L*]":iP
2 2 2 2 2
Met Qjf' cr2\ volgt dan dat
(36)
Xi ,x.
"1"1*)V X*1'
2 2
Xi
Met VjXj1 gegeven als in (24) volgt voor (36):
(37) Ai - - 1 Ai
i,x2 q i
ofwel
(38)
Xi,x, 1 Xi
2 a
Hieruit blijkt, dat de waarde van A®^dank zij de in ons
voorbeeld gedane aannamen, zeer eenvoudig te bereke
nen is.
We kunnen met (38) goed zien dat, hoe kleiner de va-
riantie van de coördinaten in netwerk (1) (er2) is, hoe
groter A®^ wordt ten gevolge van een mogelijke fout
V^11. Dit klinkt misschien paradoxaal, maar is eenvou
dig te begrijpen, indien men opmerkt dat in een zeer pre
cies verondersteld netwerk de fouten „blijven zitten" en
dus volledig doorwerken, waardoor de betrouwbaar-
heidsmaat A®i2 groter wordt. Bovendien moet men bij
het beoordelen van de kwaliteit van de aansluiting de
precisie en betrouwbaarheid gemeenschappelijk bekij
ken.
460
NGT GEODESIA 87
