Fig. 5.
Ik kan mij echter ook een andere manier voorstellen om de puzzel
te maken en dat is een methode die een puzzel oplevert die niet in
elkaar te leggen is. Bij deze methode worden op willekeurige plekken
uit een stuk karton de verschillende puzzelstukjes geknipt. Hoe ver
volgens de figuratie op de puzzelstukjes moet komen, is mij niet ge
heel duidelijk. Wel duidelijk is dat, hoe nauwkeurig men ook heeft ge
werkt, de losse puzzelstukjes wel ongeveer in elkaar passen, maar
niet voldoende om een mooie aaneengesloten puzzel op tafel te
leggen. Fig. 5 geeft een illustratie van deze methode.
Dit is dus een poging om het principe van het werken van groot naar
klein enigszins aanschouwelijk te maken. Ook twee kaarten van twee
aan elkaar grenzende gebieden zullen niet op elkaar passen, als zij
los van elkaar worden opgemeten en gekarteerd. We moeten eerst
een groot stuk karton nemen, ofwel eerst een landelijk dekkende RD-
grondslag hebben, voordat we puzzelstukjes, ofwel losse kaarten,
kunnen maken, die toch precies op elkaar passen.
Waarom kunnen we puzzelstukjes, als ze eenmaal als losse stukjes
uit het karton zijn geknipt, niet of slechts zeer moeizaam aan elkaar
leggen? Dat komt omdat we nooit perfect langs de kniplijntjes kun
nen knippen èn omdat het karton waarvan de puzzelstukjes zijn
gemaakt, een stijf materiaal is, dat zich niet soepel kan vervormen.
Het karton is niet rekbaar. Ook voor kaarten op papier of op ander
tekenmateriaal geldt, dat zij stijf en niet rekbaar zijn. Dat willen we
trouwens ook: de tekeningdrager moet zelfs zo goed mogelijk maat
vast zijn.
Kijken we naar kaarten zoals die in een computer worden opge
slagen, dan zijn de opgeslagen coördinaten zeer „maatvast". Maar
zelden zal een in „bitjes en bytes" opgeslagen coördinaat spontaan
een verschuiving van enkele millimeters gaan vertonen. Toch
kunnen we juist met digitaal opgeslagen coördinaten allerlei bewer
kingen gaan uitvoeren, die met een analoge kaart op papier onmoge
lijk zijn. Die bewerkingen kunnen worden opgevat als het synoniem
voor het rekbaar zijn van een kaart: dus digitale kaarten zijn wèl
rekbaar.
De bewerkingen en berekeningen die we wel met digitale kaarten,
maar niet met analoge kaarten kunnen uitvoeren, en die ervoor
zorgen dat digitale kaarten rekbaar zijn, kunnen in een aantal basis
bewerkingen worden onderscheiden. Allereerst kunnen coördinaten
worden getransformeerd. Denk hierbij aan een gelijkvormigheids
transformatie of een affiene transformatie. Vervolgens kunnen we de
onbekende ligging van punten op de kaart gaan schatten op grond
van punten in de omgeving, waarvan we de ligging wel kennen. De
wiskundige technieken die hiervoor worden gebruikt, heten inter
polatie of predictie. Op grond van de onderlinge ligging van een aan
tal punten ten opzichte van elkaar kunnen we besluiten de ligging
van die punten lichtelijk te corrigeren. Dit wordt aangeduid met filte
ren of ook wel met het Engelse woord smoothing, dat kan worden
vertaald door gladmaken.
Door deze technieken kunnen we digitale kaarten gaan vervormen.
In het voorbeeld van de legpuzzel betekent dit, dat de puzzelstukjes
niet meer stijf zijn, maar als het ware van rubber zijn geworden,
zodat ze vervormbaar, rekbaar, worden en exact op elkaar kunnen
gaan passen.
Op de genoemde wiskundige technieken wil ik nu wat nader ingaan.
Allereerst nemen we de transformaties. De gelijkvormigheidstrans
formatie en de affiene transformatie zijn vrij goed bekend. Waarom
zijn ze eigenlijk zo goed bekend? Ze zijn ook met de hand, met pot
lood en papier, of met een Brunsviga, eenvoudig door te rekenen
door de eenvoud van de formules, maar er zijn legio andere transfor
maties mogelijk. Een gelijkvormigheidstransformatie kent vier trans
formatieparameters. Het zijn twee translaties, één rotatie en één
wijziging van de lengte-eenheid. Evenzo kent de affiene transforma
tie zes transformatieparameters. Uitvoerbaar zijn echter ook een
drieparameter- of een vijfparametertransformatie. Bij een driepara-
metertransformatie wordt bijvoorbeeld de lengte-eenheid ongewij
zigd gelaten. Een andere transformatie is bijvoorbeeld ook de projec
tieve transformatie.
In het computertijdperk is het argument dat een bepaalde methode
gemakkelijk met de hand is door te rekenen, niet meer relevant. Van
daar ook dat de laatstgenoemde transformaties steeds meer ingang
beginnen te vinden.
In fig. 6 is met behulp van twee puzzelstukjes het effect aangegeven
van een drieparametertransformatie. Door middel van een translatie
in de x-richting, vervolgens een translatie in de y-richting en tenslotte
3 - parameter-
transformatie
Fig. 6. Het effect van een drieparametertransformatie.
NGT GEODESIA 90 - 1
13
