i, A
n
I
All
1
—r
1
V
f N v -
l H
i i
- -
v
x-
J
r
N v
I f 1 S
r n
Fig. 7. Resultaat van het wegwerken van de resterende verschillen.
een rotatie alles uitgevoerd in het Euclidische platte vlak
worden de beide stukjes in elkaar gepast. In het begin van mijn ver
haal heb ik aangegeven, dat het gemakkelijk kan voorkomen dat de
beide stukjes niet exact in elkaar passen. Er resteren dus kleine ver
schillen die pas kunnen verdwijnen als de stukjes van rubber zijn.
Terugkerend naar de ons bekende kaarten zien we in fig. 7 wat dat
wegwerken van de resterende verschillen nu eigenlijk tot gevolg kan
hebben. Dit is een voorbeeld uit de fotogrammetrie, waar met dit
soort technieken al meer ervaring is opgedaan. Een reeks foto's is
met behulp van aerotriangulatie aan elkaar gerekend. Vervolgens
zijn van een heleboel punten, waaronder ook een redelijk aantal
paspunten, op de foto's de coördinaten bepaald. De fotocoördinaten
zijn daarna getransformeerd naar het referentiestelsel van de
paspunten zeg dat dit het RD-stelsel is met behulp van de ge
geven coördinaten van die paspunten. In de paspunten resteren dan
verschillen tussen de gegeven coördinaten en de getransformeerde
fotocoördinaten van die paspunten. Dat is links in de figuur te zien
en rechts het resultaat van de interpolatie die na de transformatie is
uitgevoerd. De getransformeerde fotocoördinaten van de paspunten
worden zodanig gecorrigeerd, dat ze exact gelijk worden aan de
gegeven coördinaten. Alle punten in de omgeving van een paspunt
krijgen vervolgens een correctie die ongeveer gelijk is aan de correc
tie van dat paspunt. Een punt ondervindt echter niet alleen invloed
van dat ene paspunt, maar van alle paspunten. Hoe dichter het bij
een paspunt is, hoe meer invloed het heeft.
Op dit plaatje is duidelijk waar te nemen, dat er zeer systematische
vervormingen aanwezig zijn, maar deze gelden niet voor het gehele
puntenveld en kunnen dus niet door de transformatie worden weg
gewerkt. Denkbaar zou zijn dat dan eenvoudigweg niet het gehele
puntenveld wordt getransformeerd, maar de verschillende delen
apart. In dat geval ontstaan echter op de breukvlakken tussen de ver
schillende delen sprongen in de aangebrachte correcties, terwijl er
in dit plaatje een glad verlopend beeld is te zien.
Ik heb zojuist gesteld dat de verschillen in de paspunten de vecto
ren links in fig. 7 volledig worden weggewerkt. Daarbij blijven de
gegeven coördinaten van de paspunten ongewijzigd. Het is ook
mogelijk om rekening te houden met de precisie van de gegeven
coördinaten en afhankelijk daarvan de getransformeerde fotocoördi
naten meer of minder te corrigeren. Dat betekent dat een paspunt
harder of minder hard aan zijn omgeving trekt, afhankelijk van de
precisie waarmee de gegeven coördinaten van dat punt bekend zijn.
Daarmee kan het beeld aan de rechterkant verschillend zijn bij een
gelijkblijvende linkerkant. Dit effect wordt aangeduid met de termen
filteren en smoothing.
Samenvattend zijn er drie invloeden te onderscheiden als een
puntenveld op een ander puntenveld wordt ingepast. Allereerst
wordt een transformatie uitgevoerd. Vervolgens worden lokale syste
matische vervormingen verwijderd, waarbij tenslotte al dan niet reke
ning wordt gehouden met de precisie van de aansluitpunten.
Het rekening houden met de precisie van de paspunten kan worden
aangeduid als het wegen van de aansluitpunten. Hoe kan zo'n
weging nu plaatsvinden?
Heel logisch is om hiervoor de standaardafwijking van de coördina
ten van de aansluitpunten te gebruiken. In het algemeen is deze niet
in getalvorm aanwezig. Desondanks weten we meestal wel vrij zeker,
dat de coördinaten van alle gebruikte punten in een of andere vorm
zijn gecorreleerd en wel zodanig dat de correlatie niet mag worden
verwaarloosd in het rekenproces. De theorie leert ons, dat we de
14
standaardafwijkingen van de coördinaten en de correlatie tussen de
coördinaten kunnen beschrijven in de zogenaamde covariantie-
matrix. Omdat we in het algemeen vrij weinig weten over de exacte
waarden die voor de standaardafwijkingen en de correlaties gelden,
is het de kunst om een goede vervanging voor de covariantiematrix
te vinden. Het modelleren van een goede vervangingsmatrix en het
zuiver schatten van de parameters van zo'n vervangingsmatrix
vormen het onderwerp van diepgaande en met veel formules door
spekte studies aan de TU Delft.
Bij het Kadaster heeft men al jaren geleden het belang onderkend
van het registreren van niet alleen de coördinaten van punten, maar
ook van de kwaliteit van die coördinaten. Het Kadaster doet dat niet
door de standaardafwijkingen in centimeters vast te leggen, maar
door de meetprecisie, de idealisatieprecisie en de betrouwbaarheid
van de coördinaten weer te geven door middel van een klasse
indeling (fig. 8).
Dit verhaal wil aantonen dat de strikt hiërarchische aanpak van groot
en zeer precies naar klein en minder precies, uitgaande van de RD-
punten, niet altijd even noodzakelijk is als gebruik wordt gemaakt
van de behandelde rekentechnieken.
Laat ik met het kleine beginnen. Dat zijn in het voorbeeld van de leg
puzzel de puzzelstukjes. In de landmeetkundige praktijk zijn dat de
lokale opmetingen, de aanmetingen of iets groter kaarten in
lokale stelsels, niet aangesloten op RD. Dergelijke opmetingen
kunnen worden aangeduid met de algemene term lokale stelsels.
Het op elkaar aansluiten van verschillende lokale stelsels is het
werken van klein naar groot. Met de behandelde rekentechnieken
wordt dat mogelijk.
Om dat mogelijk te maken, moet er wel voor worden gezorgd, dat elk
puzzelstukje op zich stevig in elkaar zit. Elk lokaal stelsel moet wel
een degelijke lokale grondslag hebben, ook al bestaat die grondslag
maar uit enkele punten. Het voordeel van een lokaal gelegde grond-
precisie
kl.
st.afw.
bijv. bij toepassing van
in cm
1
0—2
terrestrische meting
2
2—7
fotogram, (schaal 3000)
3
7—15
fotogram, (schaal 6000)
digit, hermeten 1 500
4
15 30
digit, hermeten 1 1000
5
30 60
digit, hermeten 1 2000
6
60
digit, niet hermeten
9
onbekend
idealisatie
kenm.
st.afw.
bijvoorbeeld bij topografie
in cm
1
0—2
grenssteen, muur
2
2—5
hek
3
5 10
heg, greppel
4
10
sloot
9
onbekend
betrouwbaarheid
kl.
controle door middel van
1
2 of meer terrestrische metingen
2
een terrestrische meting
3
een digitaal fotogrammetrische meting
4
grafisch metrische informatie
5
visuele interpretatie
0
niet gecontroleerd
9
onbekend
Fig. 8. Klasse-indeling PIB-gegevens bij het Kadaster.
NGT GEODESIA 90 - 1
