De coördinaten van het centrale punt zijn achtereenvol
gens in het RD- en Bessel-stelsel
X0 155000,000 m
Y0 463000,000 m
en <J>0 52 09 22,178 (deg min sec) 187762,178 sec.
A0 5 23 15,500 (deg min sec) 19395,500 sec.
Ten opzichte van uitkomsten verkregen met de strenge
formules geven ze verschillen te zien van ruim 20 cm.
Deze verschillen zijn voor nauwkeurig landmeetkundig
werk te groot. Vandaar dat is getracht de HTW-1956 reek
sen te verbeteren.
Gezocht werd naar een transformatie die maximaal
0,2 mm zou afwijken van de resultaten van de „exacte
berekening". Dit betekent voor de coördinaten <j> en
A een nauwkeurigheid van 0,06x10-4 respectievelijk
0,1 x 10~4 sec.
De transformatieformules uit de HTW-1956 zijn te ver
beteren door:
uitbreiding van het aantal termen;
bepaling van een groter aantal geldende cijfers voor
de coëfficiënten.
De HTW-1956 formules bevatten 6 tot 8 termen met
machten tot de vierde orde en de coëfficiënten zijn tot op
8 cijfers nauwkeurig bepaald. Voor de bepaling van de
nieuwe reeksen is uitgegaan van alle termen met mach
ten tot en met de zesde orde; in totaal 28 termen per
reeks:
A
X
Y
IApqXpY«
p.q
I BppXpYq
P.q
*Cpq<pAq
p.q
I Dpq<j>pAq
p.q
p,q 0,1,,6
én
p q 6
de term van de coëfficiënt met de kleinste absolute waar
de verwaarloosd, waarna de overgebleven termen op
nieuw werden berekend.
Het effect van de verwaarlozing van een term werd be
keken door de omzetting naar het andere stelsel daad
werkelijk uit te voeren en het resultaat te vergelijken met
uitkomsten van de „exacte" formules. Hiervoor is een
andere set punten gebruikt dan die waarmee de coëffi
ciënten zijn berekend. De eerder gebruikte gridpunten
zouden een te mooi beeld schetsen. Gekozen werd
voor een set bestaande uit eerste orde punten van het
Rijksdriehoeksnet. Deze set bevatte de volgende NL-
nummers: 1 t/m 77, 89, 95, 201 t/m 216, 221 t/m 229, 233
t/m 240. De coördinaten van deze punten zijn bekend tot
op 0,1 mm.
Per iteratiestap werden de resultaten beoordeeld, zijnde
de coördinaatverschillen tussen de oorspronkelijke coör
dinaten uit de eerste orde set en de getransformeerde
coördinaten (X",Y",<j>",A"):
- X"
- Y"
AX X1e
AY Y1(
1e orde
AA A 1e orPe
- A"
Deze verschillen zijn terug te vinden in de tabellen 3 en
4. Hier is duidelijk te zien in welke mate het resultaat ver
slechtert bij het weglaten van een extra term.
transformatie
X,Y - Y',X"
aantallen termen
7 8 9 10 11 12
Aj. In 10-4sec
AA in 10-4sec
13 6,4 0,62 0,14 0,13 0,03
15 2,8 2,2 0,47 0,27 0,04
Tabel 3. X,Y - $",A'
Voorts zijn de coëfficiënten nu op 11 geldende cijfers
bepaald. De effecten van afrondingen in de berekening
zijn dan van sub-millimeter niveau.
De coëfficiënten van de hier gepresenteerde reeksen zijn
berekend uitgaande van twee puntensets: één met recht
hoekige coördinaten X,Y en de ander met ellipsoïdische
coördinaten <j>,A. Uit proefberekeningen aan verschillende
grids qua maaswijdte en vorm (rond, rechthoek of vorm
van Nederland) is gekozen voor een grid met punten in
X,Y coördinaten als vermeld in tabel 2 en fig. 1. De <{>,A
set is hiervan berekend met behulp van de „exacte"
formules.
Vervolgens zijn hiermee de onbekende coëfficiënten
A,B,C en D berekend met behulp van een kleinste kwa-
dratenvereffening. Daar de Bessel-coördinaten <j>,A recht
streeks met de „exacte" formules zijn berekend uit de set
X,Y coördinaten, kon van de veronderstelling worden
uitgegaan dat er geen sprake is van „meetfouten" of
puntenvelddeformaties. De vereffening gaf dan ook geen
problemen.
De keuze van de van belang zijnde termen werd gedaan
door middel van een iteratieproces. Hierbij werd telkens
NGT GEODESIA 92 - 6
transformatie
+,A - X",Y"
aantallen termen
7 8 9 10 11
AX in mm
AY in mm
0,4 0,4 <0,01 <0,01 <0.01
2,0 3,1 0,6 0,1 <0,01
Tabel 4. - X", Y".
Als eindcontrole is er „rondgerekend" van X,Y naar <j>",A"
en weer terug naar X" ",Y" met de termen en coëffi
ciënten uit bijlage 1. Het verschil tussen eerste orde
punten (X,Y) en het tweemaal getransformeerde eind
resultaat (X" ",Y" bleek maximaal 0,1 mm te zijn. Dit
voldoet ruim aan de gestelde eis.
Conclusie
Om een goed resultaat op sub-mm-niveau te halen, moet
dus een tamelijk groot aantal termen worden gebruikt:
ten behoeve van <j> en A zijn beide 12 termen met (X,Y)
nodig;
ten behoeve van X en Y zijn 9, respectievelijk 10
termen met (<j>,A) nodig.
Zie bijlage 1 voor de geselecteerde termen en de waar
den van de coëfficiënten. Verder worden daar ook de
gebruiksformules van de reeksen gegeven. In bijlage 2
staat een rekenvoorbeeld afgedrukt.
Het bleek dat in dit onderzoek dezelfde termen zijn ge
selecteerd als destijds in de HTW-1956, zij het dat die met
een aantal extra termen zijn uitgebreid (tabel 6).
245
maas-
wijdte
grens gebied [km]
Z-N W-0
aantal
punten
vorm
25 km
300 - 625 5 - 280
168
rechthoek
Tabel 2.
