V V s N \x I e/ 1 0 /x\ fo\ /x (1 -M x\ f Wx - V x N \n EX V. L I A r r b m 1 <3- -X Platte vlak 2 2 E: X, X2 =1 X2 i\\ i i Figuur 5. V 1 \0 (5) (6) Snijding van lijn s met cirkel E levert s n E (1 - X )Y X2 1 o X= X2- 1 X2+ 1) (7) Invullen in (5): X 1 -X, (8) Zo kunnen we de twee punten op bepaalde afstand van een derde punt projecteren. Door beide projectiepunten op de cirkel kunnen we een lijn n trekken (fig. 6). S,"\ i 0 Figuur 6. De cirkel waar A en B deel van uitmaken, heeft als ver gelijking: (x-m)2 R2 Met (6) en (8) wordt (9): (1-xj) 2m 2 p 2 x. m K (9) Cirkel C2 met middelpunt 3 en straal 1: P 2 2 C (X-3) 1 -6x, -7x2 Figuur 7. De lijnen en n2 snijden elkaar in een punt (x,, x2 4/5, 3/5). Projectie van dit punt op de eenheidscirkel in het vlak geeft de gezochte snijding van de twee cirkels: x 2. Als de twee waarnemingen op de lijn niet volledig met elkaar overeenstemmen, uit zich dat in het niet snijden van de beide cirkels op de lijn. Ze bepalen niet hetzelfde punt. Dit heeft tot gevolg dat de lijnen in het vlak elkaar niet op de eenheidscirkel snijden. Om toch eenduidig een geschikt punt te bepalen, kan men eerst het snijpunt van de lijnen langs een lijn door de oorsprong op de eenheids cirkel en vervolgens terug op de lijn projecteren. Een overbepaald stelsel lineaire vergelijkingen Ax c ontstaat wanneer meer dan twee cirkelvergelijkingen zijn opgesteld. De kleinste kwadratenoplossing luidt: A x c dan x A+c waarin A+ (A1 A)-1 A1 In het vervolg gebruiken we deze notatie. In hoofdlijnen is de analyse dezelfde als voor de lijn. Uit cirkelvergelijkingen volgt het gemeenschappelijk snijpunt van cirkels uit de formules, die nu door projectie op de eenheidsbol kunnen worden afgeleid: Als (x,y) de vlakcoördinaten zijn en (x,, x2, x3) de coör dinaten op de bol X +u +1 X +u +1 OE> Xl 1 - x3 x2 y 1-X3 Voor de vergelijking van de cirkel geldt: ofwel, na uitwerking: - 2m x, (R2- m2+ 1) X2 R2-m2-1 (10) Voorbeeld (fig. 7): Cirkel C, met middelpunt -2 en straal 4: P C,: (x-(-2 ))2 <r n.4x 13 x 11 1 1 2 (x-xj +(y-y„; R' 2 xmx)-2ymx2+(1 +Rm2-xm2- y„2 )x3 Rm-xm-ym-1 NGT GEODESIA 92 - 10 407 vereffening versc^il

Digitale Tijdschriftenarchief Stichting De Hollandse Cirkel en Geo Informatie Nederland

(NGT) Geodesia | 1992 | | pagina 11