V
V
s
N
\x I
e/
1
0
/x\
fo\ /x
(1 -M x\
f Wx
-
V x
N
\n
EX
V. L
I A r r b
m
1
<3-
-X
Platte vlak
2 2
E: X, X2 =1
X2
i\\
i
i
Figuur 5.
V 1 \0
(5)
(6)
Snijding van lijn s met cirkel E levert
s n E (1 - X )Y X2 1 o X= X2- 1 X2+ 1) (7)
Invullen in (5): X
1 -X,
(8)
Zo kunnen we de twee punten op bepaalde afstand van
een derde punt projecteren. Door beide projectiepunten
op de cirkel kunnen we een lijn n trekken (fig. 6).
S,"\
i 0
Figuur 6.
De cirkel waar A en B deel van uitmaken, heeft als ver
gelijking:
(x-m)2 R2
Met (6) en (8) wordt (9):
(1-xj) 2m 2 p 2
x. m K
(9)
Cirkel C2 met middelpunt 3 en straal 1:
P
2 2
C (X-3) 1
-6x, -7x2
Figuur 7.
De lijnen en n2 snijden elkaar in een punt (x,, x2
4/5, 3/5). Projectie van dit punt op de eenheidscirkel in
het vlak geeft de gezochte snijding van de twee cirkels:
x 2.
Als de twee waarnemingen op de lijn niet volledig met
elkaar overeenstemmen, uit zich dat in het niet snijden
van de beide cirkels op de lijn. Ze bepalen niet hetzelfde
punt. Dit heeft tot gevolg dat de lijnen in het vlak elkaar
niet op de eenheidscirkel snijden. Om toch eenduidig een
geschikt punt te bepalen, kan men eerst het snijpunt van
de lijnen langs een lijn door de oorsprong op de eenheids
cirkel en vervolgens terug op de lijn projecteren.
Een overbepaald stelsel lineaire vergelijkingen Ax c
ontstaat wanneer meer dan twee cirkelvergelijkingen zijn
opgesteld. De kleinste kwadratenoplossing luidt:
A x c dan x A+c waarin A+ (A1 A)-1 A1
In het vervolg gebruiken we deze notatie.
In hoofdlijnen is de analyse dezelfde als voor de lijn. Uit
cirkelvergelijkingen volgt het gemeenschappelijk snijpunt
van cirkels uit de formules, die nu door projectie op de
eenheidsbol kunnen worden afgeleid:
Als (x,y) de vlakcoördinaten zijn en (x,, x2, x3) de coör
dinaten op de bol
X +u +1
X +u +1
OE>
Xl
1 - x3
x2
y
1-X3
Voor de vergelijking van de cirkel geldt:
ofwel, na uitwerking:
- 2m x, (R2- m2+ 1) X2 R2-m2-1 (10)
Voorbeeld (fig. 7):
Cirkel C, met middelpunt -2 en straal 4:
P
C,: (x-(-2 ))2
<r
n.4x 13 x 11
1 1 2
(x-xj +(y-y„; R'
2 xmx)-2ymx2+(1 +Rm2-xm2- y„2 )x3 Rm-xm-ym-1
NGT GEODESIA 92 - 10
407
vereffening versc^il