4)
Ook hier leiden de cirkelvergelijkingen tot een stelsel
kwadratische vergelijkingen Ax c, met als kleinste
kwadratenoplossing x A+ c.
twee snijpunten. Zijn twee cirkelvergelijkingen beschik
baar, dan kan men als volgt de mogelijke snijpunten be
rekenen (fig. 9) 5):
Opstellen van cirkelvergelijkingen in het vlak
Absolute afstandscirkel
(x-*J2 (y-yn02= dm2
II. Relatieve afstandscirkel
x (1-\)a Xb
dus||a - x||=X||b - a||
ofwel k2- O X2- 2 k2X+ k2= 0
dus: X,
en lib - xl|2=0-xjll b-a||2
en X„= _A_
k 1
en de conclusies blijven onverminderd gelden.
\V
Figuur 9.
Figuur 8.
III. Hoekcirkel
Uit fig. 8 valt eenvoudig in te zien dat de straal R van de
cirkel gegeven is door:
R lla - m||
I (b - a)||
2 sin 8
m (m - c) c 11m- c II em c
Nu is c Vz (a b) en
en dat
lm- c I
II (b - a)||
2 tan/3
1
Ib - a|
dus:
b2 a2
1
2 tan/3
b2 a2
a,-b,
ai b,
Vb2
Om een punt in het vlak eenduidig te bepalen, zijn drie
cirkels nodig, want twee cirkels hebben in het algemeen
4) Als de richtingen rechtsom worden gemeten, de kleinste waarde
van de grootse wordt afgetrokken, ligt M altijd rechts van AB.
5) Dit geval doet zich voor als bijvoorbeeld twee afstanden zijn ge
meten, of een afstand en een hoek. Bij meting van drie richtingen
zijn drie hoeken bepaald.
Iedere cirkelvergelijking in het platte vlak bepaalt een
vlakvergelijking in de ruimte. Twee vlakken snijden elkaar
volgens een lijn. Deze lijn snijdt de eenheidsbol in twee
punten. De projectie in het vlak van deze snijpunten
levert de gezochte punten op. Rekenkundig komt dit
overeen met het oplossen van het lineaire stelsel:
ax+a x„ a x c
11 1 12 2 1 3 3
ax+a x„ a x c
21 1 22 2 23 3 2
(11)
op de volgende wijze: Kies twee verschillende waarden
voor één van de variabelen, bijvoorbeeld 0 en 1. Het is
dan mogelijk de bij die aangenomen waarde behorende
waarden van de andere variabelen te berekenen.
Men kan zich deze procedure voorstellen als het zich
beperken tot een vlakke dwarsdoorsnede van de bol,
evenwijdig aan één van de coördinaatassen, waarin het
snijpunt van twee lijnen wordt bepaald (fig. 10).
Men zal kiezen voor die doorsnede, waarbij deze lijnen
elkaar het best, dat wil zeggen het meest loodrecht,
snijden. De determinant van het overgebleven, op te
lossen, lineaire stelsel vergelijkingen is een maat hier
voor. Vullen we bijvoorbeeld in (11) voor x3 achtereen
volgens 0 en 1 in dan heeft de lijn de vectorvoorstelling:
L: x x1+X(x2-xJ=a Xb
waarbij Xi als derde component 0 en x2 als derde compo
nent 1 heeft.
Snij L met de bol E:
E x2+.x2+x2=1 dan (a+Xb f+(a+Xb )2+(a+Xb 1
1 2 3 1 1y v 2 2y v 3 3y
(b-b)X2+ 2 (a-b) X (a-a) -1 =0
X - (a-b) b~V(a-b)2- (b-b)( (a-a) -1
(b-b)
408
NGT GEODESIA 92 - 10
