Sectie en projectie
Inleiding
X1 0 1 X2
door W. L. Bil, werkzaam bij de afdeling Landmeten en Kartografie bij Inpark te
Amsterdam.
SUMMARY
Resection and projection
Stereographic projection is used to reduce a system of quadric equations to a system of linear equations,
in case the linear system does not contain crossproducts between variables like for instance x, and x2.
The method is used to solve the resection problem in the plane. An algebraic way is followed to arrive at
equations for circles of Apollonius. A connection with least squares adjustment is established. An algorithm
is given for using angle measurements as well as distance measurements to solve the spatial resection
problem in some cases. It is pointed out that the method of calculation does not require a priori information
on the direction of the perpendicular, but on the contrary, this direction can be derived from (distance and)
angle measurements a posteriori.
Stereografische projectie wordt gebruikt om een stelsel
kwadratische vergelijkingen te herleiden tot een stelsel
lineaire vergelijkingen1). Deze methode wordt toegepast
om het probleem van achterwaartse insnijding in het
platte vlak op te lossen. Op algebraïsche wijze worden
vergelijkingen voor de cirkels van Apollonius afgeleid.
Een verband met kleinste kwadratenvereffening wordt
gelegd. Een algoritme wordt aangereikt om zowel hoek
meting als afstandmeting te kunnen gebruiken om in
sommige gevallen het probleem van achterwaartse in
snijding in de ruimte op te lossen.
Er wordt op gewezen dat de wijze van berekening op
geen enkele manier vooraf informatie vereist omtrent de
richting van het schietlood, maar dat deze richting daar
entegen achteraf kan worden afgeleid uit louter (afstand
en) hoekmetingen.
Het schrijven van dit artikel is mede gemotiveerd door [1]
en [3]. Aan Bakker [1] is het inzicht te danken dat het
probleem van Snellius een niet-lineair probleem is, waar
voor twee strategieën bestaan om tot een oplossing te
komen, namelijk het lineariseren van de vergelijkingen
enerzijds of het invoeren van hulpgrootheden die aan
leiding geven tot het invoeren van evenzoveel extra ver
gelijkingen die door transformatie kunnen worden om
gezet in een aantal lineaire vergelijkingen, anderzijds.
Grafarend c.s. [3] hebben de indruk achtergelaten dat het
niet geoorloofd is het gelineariseerde probleem van
Snellius in het platte vlak op te lossen, omdat een aan
name voor de schietloodrichting nadelig van invloed kan
zijn op de uitkomsten. Zij staan het vinden van een geslo
ten oplossingsvorm van het driedimensionale probleem
van Snellius voor, hetgeen neerkomt op het oplossen van
een stelsel algebraïsche vergelijkingen van de derde
graad in zes variabelen.
We zullen het probleem van Snellius in het platte vlak
aanschouwelijk maken door een ééndimensionaal ana-
logon ervan, beperkt tot de meetkunde van de lijn dus, te
bestuderen, vervolgens uitgebreider te formuleren als
puntsbepaling in het platte vlak uit meting van een wille
keurig aantal richtingen en afstanden, en tenslotte de
ruimte ingaan.
In het geval het stelsel geen kruisprodukten zoals x, en x2 tussen
variabelen bevat.
Het is moeilijk aan te geven welke mate van exactheid de
gegeven oplossingen bezitten. Linearisering staat in dit
geval niet gelijk aan benadering. Benaderde waarden zijn
niet vereist om de berekeningen uit te voeren en beïn
vloeden dus ook op geen enkele wijze het resultaat van
de berekeningen in het platte vlak. Hoewel de uitkomst
van de berekening als exact is te beschouwen, wordt ook
aangegeven hoe de verkregen uitkomst kan worden ge
bruikt als grootheid om de waarnemingen volgens de
kleinste kwadratenmethode te vereffenen.
Evenzo is bij de ruimtelijke variant wat betreft de be
rekening uit afstandmeting de methode exact te noemen.
De hoekmeting daarentegen moet stapsgewijs worden
omgezet in bijbehorende afstandsbepaling. Hiervoor is
een stadwaarde nodig. Niet altijd, en niet altijd even snel,
convergeert het gebruikte algoritme naar een oplossing.
Maar in het geval van convergentie kunnen de met de
hoekmetingen corresponderende afstanden met elke ge
wenste nauwkeurigheid worden benaderd.
Ééndimensionaal probleem
Om de gedachtengang aanschouwelijk te maken, worden
de denkbeelden die voor een goed begrip nodig zijn,
eerst getoond aan de hand van een tot de lijn beperkt
probleem van plaatsbepaling.
Neem aan dat we ons ergens op een lijn bevinden, die
voorzien is van een nulpunt, een eenheid en een posi
tieve richting. Aan elke positie op de lijn is dan een coördi
naat gekoppeld (fig. 1).
Figuur 1.
Twee soorten metingen staan ter beschikking om onze
positie op de lijn te bepalen: afstandmeting en hoek
meting. Gemeten worden de afstand naar X, en de hoek
waaronder men X2X3 ziet.
Stel dat X, coördinaat -2 heeft en X2 coördinaat 3, dat
naar afstand 4 is gemeten, dat X2X3 lengte 1 heeft en
dat onder een halve rechte hoek wordt waargenomen.
We stellen een aantal cirkelvergelijkingen op voor de
coördinaat van de positie.
NGT GEODESIA 92 - 10
405
