l
Methode Bowring voor de
berekening van de breedte cp uit
rechthoekige coördinaten [x,y,z]
hf
N L i
Inleiding
a2
T-tl 7
M h
l
4 r I
a a2z
door ir. G. L. Strang van Hees, universitair hoofddocent aan de Faculteit der Geodesie
van de TU Delft.
SUMMARY
Method Bowring for the computation of latitude cp from rectangular coordinates (x,y,z)
In geodetic space techniques like GPS it is frequently necessary to compute ellipsoidal coordinates:
latitude cp, longitude A and height h from rectangular coordinates x,y,z. In this paper a very efficient but
rather unknown method is described, which was originally derived by Bowring in 1976.
Door de opkomst van ruimtelijke plaatsbepalingsmetho
den zoals GPS komt het vaak voor dat men ruimtelijke
x-, y-, z-coördinaten moet omrekenen naar ellipsoïdische
coördinaten breedte cp, lengte A en hoogte h. In dit artikel
zal een zeer elegante methode worden behandeld om de
breedte cp te berekenen.
De transformatie van ellipsoïdische coördinaten (<p,A,h)
naar (x,y,z) (fig. 1) wordt gegeven door de volgende
formules:
x (N h) cos cp cos A
y (N h) cos cp sin A (1)
z (N - e2N h) sin cp
a2 - b2
met e2
halve lange as van de ellipsoïde
halve korte as van de ellipsoïde
hoofdkromtestraal in oost-west-richting
met N
/l - e2 sin2 cp
z-as
(2)
Fig. 1.
De terugrekening van (x,y,z) naar (cp,A,h) is moeilijk voor
cp. Hierna volgt de tamelijk onbekende oplossing van
Bowring, die voor praktische berekening echter zeer ge
schikt is. Als cp bekend is, zijn h en A eenvoudig te bereke
nen met:
tan A
h
COS cp
- N met r ]/x2 y2
Berekening van cp via iteratie
Uit (1) volgt:
z e2N sin cp
tan cp
(3)
x-y vlak tan tp
De meest gebruikelijke methode om cp te berekenen, gaat
via iteratie. Men berekent in het rechter lid (N sin cp) met
een benaderde waarde voor cp. Daar e2 klein is, vindt men
uit (3) een verbeterde waarde voor cp. Deze wordt gebruikt
om een verbeterde (N sin cp) te berekenen. Als eerste
benadering wordt gekozen(N sin cp) z. Daarna moet
men viermaal itereren om cp te krijgen met een precisie
van 0",0001.
Een andere methode om cp uit (3) op te lossen, is door (3)
om te werken tot een vierdegraads vergelijking in tan cp.
De oplossing van deze vergelijking is wel mogelijk, maar
geeft toch gecompliceerde formules [3] [4],
In fig. 2 is de ellipsoïde getekend en de bol, die raakt aan
de equator met straal a. P is het punt waarvan we de
breedte cp willen bepalen. Het vlak van tekening is een
doorsnede door punt P en de z-as. De horizontale as is:
r j/x2 y2.
De vergelijking van de ellipsoïde is:
r a cos p z b sin p (4)
waarbij p de gereduceerde breedte wordt genoemd, p is
de hoek naar het punt op de bol, dat loodrecht boven het
punt Q op de ellipsoïde ligt. We kunnen nu de volgende
betrekkingen opstellen
geocentrische breedte van P en O:
z
gereduceerde breedte van Q:
z
tan p
a a
tan ip
b b
ellipsoïdische breedte van Q:
tan cp' tan p
b b2r
(5)
(6)
(7)
cp' is een benaderde waarde voor de gevraagde breedte
cp van P.
De berekening van cp met (3) kan nu worden geïllustreerd
met fig. 2.
Voor punt Q geldt:
N(cp') volgens (2) is de afstand QN
e2N is de afstand LN
e2N sin cp' is de afstand ON
NGT GEODESIA 93 - 7
333
