M wC
/y /h
//tsT
/m
O)
De breedte cp, die met (3) wordt berekend, is dus de hoek
van de lijn PN met de horizontale as. Dit is niet gelijk aan
de gevraagde hoek cp, zodat het nodig is een paar maal
te itereren, waarbij cp' een steeds betere benadering van
cp wordt.
Berekening van cp via methode Bowring
Het is weinig bekend, dat Bowring in 1976 reeds een zeer
eenvoudige en praktisch exacte formule heeft afgeleid
om cp te berekenen zonder iteratie. Hij berekent niet het
punt N in fig. 2, maar het punt M! M is het snijpunt van
de normalen op de ellipsoïde in punt P' en Q. M is dus het
middelpunt van de kromtestraal van de ellipsoïde. QM is
de lengte van de eerste hoofdkromtestraal (meestal M
genoemd). Daar cp' bekend is, kunnen we de coördinaten
van punt M berekenen. M ligt ook op de loodlijn door P,
dus de lijn PM maakt precies de gevraagde hoek cp met
het horizontale vlak!
____bol
ellips
z
n
I a
r
N
x,y-vlak
Fig. 2.
Als de coördinaten (xQ,zQ) van een punt Q op de ellip
soïde gegeven zijn, dan zijn de coördinaten (xM,zM) van
het middelpunt M:
3
e2a
met
a2 - b2
a2
z„ - e'2b
en e'2
a2 - b2
b2
(8)
De afleiding van (8) wordt gegeven in wiskundeboeken,
bijvoorbeeld Bartsch: Mathematische Formeln. De coör
dinaten van M kunnen ook worden afgeleid met de geo
detisch gebruikelijke formules voor de kromtestralen M
en N van de ellipsoïde. N is gegeven in (2) en M is:
a (1 - e2)
M
VT- e2 sin2
V
In fig. 2 is:
M
N
N-M
e2N
e2N - N M
afstand QM
afstand QN
afstand MN
afstand LN
afstand LM.
Dus de coördinaten van punt M zijn dan:
xM (N-M) cos cp' zu (N-e2N-M) sin cp' (10)
cp' volgt uit (7), N uit (2) en M uit (9). Als we cp' omrekenen
in p met (7), dan krijgen we een iets eenvoudiger formule
[1]-
xM e2a cos3p zM -e'2bsin3p (11)
Dit komt overeen met (8) als we de coördinaten van Q
volgens (4) invullen in (8)
xQ a cos p zQ b sin p
p kunnen we berekenen met (6) als (x,y,z) gegeven zijn.
De breedte cp volgt dan uit:
zp - zM z e'2b sin3p
tan cp
Xp xM
Samenvattend
r - e2a cos3p
(12)
j/x2 y
tan p
e'2b sin3p
tan cp
r - e2a cos3p
(13a)
(13b)
Als we de formule van Bowring (13b) differentiëren, krij
gen we:
0
dp
(14)
Dit is de kracht van de formule van Bowring. Als we p een
beetje veranderen, heeft dit geen invloed op de bere
kende cp! Met andere woorden: formule (13b) conver
geert zeer snel, zodat we niet meer behoeven te itereren.
Precisie
De methode van Bowring is niet helemaal exact. Als h erg
groot wordt, bijvoorbeeld meer dan 1000 km (satelliet
hoogte), liggen de punten P' en Q niet meer dicht bij
elkaar en snijden de loodlijnen niet meer precies in het
krommingsmiddelpunt M. De fout die daardoor wordt ge
maakt, is minimaal en is berekend door Bowring.
hoogte in km
fout in cp in boogsec
0
0",000 000
100
0",000 003
500
0",000 06
1 000
0",000 2
2 500
0",000 7
5 000
0",001 3
10 000
0",001 7
50 000
0",001 0
100 000
0",000 6
500 000
0",000 2
1 000 000
0",000 1
oo
0",000 0
0",0001 komt overeen met 3 mm op aardoppervlak!
Voor punten op aarde is de formule dus exact!
334
NGT GEODESIA 93 - 7
