A
lH hi lü
A /„«/„-/J
xl*xj-x? /£-/(*ƒ-*,V+(y/0-y,V
/J /J /J
Vereffening en toetsing van
detailmetingen met behulp van
een model
Uitgangspunt van SCAN-DETAIL is de
integrale vereffening van detailmetin
gen. Daarbij wordt elke waarneming
opgenomen in een zogenaamd model
van waarnemingsvergelijkingen. De te
berekenen coördinaten komen als on
bekende parameters voor in dit mo
del. Met behulp van een kleinste kwa-
dratenvereffening wordt in één keer
een oplossing voor alle onbekende
parameters berekend. (Hiernaast
wordt de kleinste kwadratenvereffe-
ning van een model van waarne
mingsvergelijkingen nader toegelicht.)
Met SCAN-DETAIL wordt daarmee
voor detailmetingen in essentie de
zelfde verwerkingsmethode toegepast
als tegenwoordig voor de verwerking
van grondslagmetingen gebruikelijk
is. De hedendaagse pakketten voor de
vereffening van grondslagmetingen
zijn zonder uitzondering gebaseerd op
de kleinste kwadratenvereffening van
een model van waarnemingsvergelij
kingen.
Op deze wijze krijgen alle metingen
een gelijke behandeling. Er is geen
onderscheid tussen meetconstructies
en controles. Het meevereffenen van
de controlematen komt de kwaliteit
van de berekende detailpunten ten
goede. Aan het eind van dit artikel
wordt hiervan een illustratie gegeven.
Na vereffening vindt een systemati
sche toetsing plaats van alle waarne
mingen. Ook kunnen kwantitatieve uit
spraken worden gedaan over de preci
sie en betrouwbaarheid van het resul
taat. Opnieuw kan hier een vergelij
king worden getrokken met pakketten
voor de berekening van de grondslag.
Daarnaast is in SCAN-DETAIL de
functionaliteit van de drie genoemde
kadastrale deelsystemen (GROND
SLAG, DETA, IDV) geïntegreerd. De
grondslagmetingen behoeven niet te
worden gescheiden van de detailme
tingen. Grondslag- en detailpunten
kunnen tegelijkertijd worden bepaald.
Om bij omvangrijkere projecten het
overzicht te behouden, is echter wel
een afzonderlijke berekening en ana
lyse van de grondslag mogelijk. De
grondslag is dan een door de gebrui
ker gespecificeerd deel van de voer-
straalmetingen.
Indien alleen de metingen worden ver
werkt, is het resultaat een set coördi
naten in een lokaal stelsel (ten op
zichte van een lokaal gekozen reken-
basis). Dit wordt ook wel „vrije net-
vereffening" genoemd. Aan het model
NGT GEODESIA 94 - t
Kleinste kwadratenvereffening van een model van waamemlngsvergell|klngen
Met SCAN-DETAIL worden detailmetingen verwerkt door voor alle metingen geza
menlijk een model van waarnemingsvergelijkingen op te stellen. Daarin wordt elke
waarneming beschreven als een functie van een aantal op te lossen onbekende para
meters. Als voorbeeld geven we de waarnemingsvergelijking voor een horizontale
afstand tussen twee punten
i„-^(xrx^*(yry^
met (Xi.y,), (x,,y,) de onbekende coördinaten van de punten waartussen is gemeten en
k een schaarfactor voor de meetband of elektronische afstandmeter.
Ten behoeve van de kleinste kwadratenvereffening worden de waarnemingsvergelij
kingen gellnearlseerd. Daarbij wordt een kleine verandering van de waarneming als
een lineaire functie van kleine veranderingen van de onbekenden geschreven. Voor
de afstand wordt bijvoorbeeld de gelineariseerde waarnemingsvergelijking:
A/#.-^A*,-^Ay(+^AV^Ay,+ fjAJ.
met
(xf.yf), (Xj°,y?) en A°»1 zijn benaderde waarden voor de coördinaten en de schaal
factor. Om net gelineariseerde model te kunnen opstellen, is dus al een benaderde
oplossing nodig.
Zo stellen we voor alle waarnemingen gelineariseerde vergelijkingen op, welke we In
matrix-vectornotatie kunnen schrijven als
Ay - AA*
met Ay een vector met gelineariseerde waarnemingen, Ax een vector met te bereke
nen toeslagen aan de benaderde waarden voor de onbekenden en A een matrix welke
de coêfficiönten van de gelineariseerde waarnemingsvergelijkingen bevat. Voor de
voorbeeld-afstand zien de elementen van de genoemde vectoren en matrix eruit als:
AL
A*(
Ay,
Ax,
Ay,
AA
Bij detailmetingen zijn de waarnemingen bijvoorbeeld richtingen, elektronische of
meetbandafstanden, voetpuntsmaten en loodlijnen, (haakse of gestrekte) hoeken en
coördinaten van bekende punten. De onbekende parameters zijn de coördinaten van
de te bepalen punten en een aantal oriënteringen en schaalfactoren. Omdat we te
maken hebben met stochastische waarnemingen welke toevallige afwijkingen
bevatten, zullen de waarnemingen niet exact voldoen aan het wiskundige model. Het
volledige lineaire model van waarnemlngsvergelijklngen luidt dan ook:
Ay - Ahx+e Q,
met e de vector met onbekende toevallige afwijkingen en Qy een matrix welke de
varlantles van en eventuele covarianties tussen de waarnemingen bevat'. We
zeggen daarom ook wel dat het model van waarnemingsvergelijkingen uit een functie-
model en een kansmodel bestaat. Het functiemodel beschrijft de functionele relatie
tussen de waarnemingen en de onbekenden. Het kansmodel beschrijft de stochasti
sche spreiding van de toevallige afwijkingen van de waarnemingen.
Indien het aantal waarnemingen minimaal gelijk Is aan het aantal onbekenden,
kunnen we In principe de onbekenden oplossen uit het stelsel vergelijkingen. Indien
er overbepaald Is gemeten (er zijn meer waarnemingen dan onbekenden) maken we
hiervoor gebruik van een kleinste kwadratenvereffening. De formules voor de kleinste
kwadratenoplosslng voor de onbekenden en de toevallige afwijkingen luiden:
Ai - (a-<?;VaX?;1 Ay
i - Ay-AAi
De kleinste kwadratenvereffening Is erop gebaseerd dat de gewogen som van de
kwadraten van de residuen 6 wordt geminimaliseerd. Bewezen kan worden dat deze
oplossing bepaalde optlmallteitselgenschappen bezit. De kleinste kwadratenschattln-
gen vormen de basis voor de toetsing.
De realisering van de kleinste kwadratenvereffening In de software Is overigens ge
compliceerder dan hierboven geschetst. Zo wordt de oplossing In een aantal itera
tiestappen berekend, waarbij steeds de benaderde waarden worden verbeterd. Om
geheugenruimte en rekentijd te besparen, worden Ijle matrlxtechnleken toegepast, zo
dat de opslag en berekening van nulelementen worden vermeden.
3