A lH hi lü A /„«/„-/J xl*xj-x? /£-/(*ƒ-*,V+(y/0-y,V /J /J /J Vereffening en toetsing van detailmetingen met behulp van een model Uitgangspunt van SCAN-DETAIL is de integrale vereffening van detailmetin gen. Daarbij wordt elke waarneming opgenomen in een zogenaamd model van waarnemingsvergelijkingen. De te berekenen coördinaten komen als on bekende parameters voor in dit mo del. Met behulp van een kleinste kwa- dratenvereffening wordt in één keer een oplossing voor alle onbekende parameters berekend. (Hiernaast wordt de kleinste kwadratenvereffe- ning van een model van waarne mingsvergelijkingen nader toegelicht.) Met SCAN-DETAIL wordt daarmee voor detailmetingen in essentie de zelfde verwerkingsmethode toegepast als tegenwoordig voor de verwerking van grondslagmetingen gebruikelijk is. De hedendaagse pakketten voor de vereffening van grondslagmetingen zijn zonder uitzondering gebaseerd op de kleinste kwadratenvereffening van een model van waarnemingsvergelij kingen. Op deze wijze krijgen alle metingen een gelijke behandeling. Er is geen onderscheid tussen meetconstructies en controles. Het meevereffenen van de controlematen komt de kwaliteit van de berekende detailpunten ten goede. Aan het eind van dit artikel wordt hiervan een illustratie gegeven. Na vereffening vindt een systemati sche toetsing plaats van alle waarne mingen. Ook kunnen kwantitatieve uit spraken worden gedaan over de preci sie en betrouwbaarheid van het resul taat. Opnieuw kan hier een vergelij king worden getrokken met pakketten voor de berekening van de grondslag. Daarnaast is in SCAN-DETAIL de functionaliteit van de drie genoemde kadastrale deelsystemen (GROND SLAG, DETA, IDV) geïntegreerd. De grondslagmetingen behoeven niet te worden gescheiden van de detailme tingen. Grondslag- en detailpunten kunnen tegelijkertijd worden bepaald. Om bij omvangrijkere projecten het overzicht te behouden, is echter wel een afzonderlijke berekening en ana lyse van de grondslag mogelijk. De grondslag is dan een door de gebrui ker gespecificeerd deel van de voer- straalmetingen. Indien alleen de metingen worden ver werkt, is het resultaat een set coördi naten in een lokaal stelsel (ten op zichte van een lokaal gekozen reken- basis). Dit wordt ook wel „vrije net- vereffening" genoemd. Aan het model NGT GEODESIA 94 - t Kleinste kwadratenvereffening van een model van waamemlngsvergell|klngen Met SCAN-DETAIL worden detailmetingen verwerkt door voor alle metingen geza menlijk een model van waarnemingsvergelijkingen op te stellen. Daarin wordt elke waarneming beschreven als een functie van een aantal op te lossen onbekende para meters. Als voorbeeld geven we de waarnemingsvergelijking voor een horizontale afstand tussen twee punten i„-^(xrx^*(yry^ met (Xi.y,), (x,,y,) de onbekende coördinaten van de punten waartussen is gemeten en k een schaarfactor voor de meetband of elektronische afstandmeter. Ten behoeve van de kleinste kwadratenvereffening worden de waarnemingsvergelij kingen gellnearlseerd. Daarbij wordt een kleine verandering van de waarneming als een lineaire functie van kleine veranderingen van de onbekenden geschreven. Voor de afstand wordt bijvoorbeeld de gelineariseerde waarnemingsvergelijking: A/#.-^A*,-^Ay(+^AV^Ay,+ fjAJ. met (xf.yf), (Xj°,y?) en A°»1 zijn benaderde waarden voor de coördinaten en de schaal factor. Om net gelineariseerde model te kunnen opstellen, is dus al een benaderde oplossing nodig. Zo stellen we voor alle waarnemingen gelineariseerde vergelijkingen op, welke we In matrix-vectornotatie kunnen schrijven als Ay - AA* met Ay een vector met gelineariseerde waarnemingen, Ax een vector met te bereke nen toeslagen aan de benaderde waarden voor de onbekenden en A een matrix welke de coêfficiönten van de gelineariseerde waarnemingsvergelijkingen bevat. Voor de voorbeeld-afstand zien de elementen van de genoemde vectoren en matrix eruit als: AL A*( Ay, Ax, Ay, AA Bij detailmetingen zijn de waarnemingen bijvoorbeeld richtingen, elektronische of meetbandafstanden, voetpuntsmaten en loodlijnen, (haakse of gestrekte) hoeken en coördinaten van bekende punten. De onbekende parameters zijn de coördinaten van de te bepalen punten en een aantal oriënteringen en schaalfactoren. Omdat we te maken hebben met stochastische waarnemingen welke toevallige afwijkingen bevatten, zullen de waarnemingen niet exact voldoen aan het wiskundige model. Het volledige lineaire model van waarnemlngsvergelijklngen luidt dan ook: Ay - Ahx+e Q, met e de vector met onbekende toevallige afwijkingen en Qy een matrix welke de varlantles van en eventuele covarianties tussen de waarnemingen bevat'. We zeggen daarom ook wel dat het model van waarnemingsvergelijkingen uit een functie- model en een kansmodel bestaat. Het functiemodel beschrijft de functionele relatie tussen de waarnemingen en de onbekenden. Het kansmodel beschrijft de stochasti sche spreiding van de toevallige afwijkingen van de waarnemingen. Indien het aantal waarnemingen minimaal gelijk Is aan het aantal onbekenden, kunnen we In principe de onbekenden oplossen uit het stelsel vergelijkingen. Indien er overbepaald Is gemeten (er zijn meer waarnemingen dan onbekenden) maken we hiervoor gebruik van een kleinste kwadratenvereffening. De formules voor de kleinste kwadratenoplosslng voor de onbekenden en de toevallige afwijkingen luiden: Ai - (a-<?;VaX?;1 Ay i - Ay-AAi De kleinste kwadratenvereffening Is erop gebaseerd dat de gewogen som van de kwadraten van de residuen 6 wordt geminimaliseerd. Bewezen kan worden dat deze oplossing bepaalde optlmallteitselgenschappen bezit. De kleinste kwadratenschattln- gen vormen de basis voor de toetsing. De realisering van de kleinste kwadratenvereffening In de software Is overigens ge compliceerder dan hierboven geschetst. Zo wordt de oplossing In een aantal itera tiestappen berekend, waarbij steeds de benaderde waarden worden verbeterd. Om geheugenruimte en rekentijd te besparen, worden Ijle matrlxtechnleken toegepast, zo dat de opslag en berekening van nulelementen worden vermeden. 3

Digitale Tijdschriftenarchief Stichting De Hollandse Cirkel en Geo Informatie Nederland

(NGT) Geodesia | 1994 | | pagina 5