punten en sluit liet netwerk aan op de reeds berekende
maar nu kansvrij ingevoerde coördinaten van deze twee
netwerkpunten door een gelijkvormigheidstransformatie.
De getalwaarden van de coördinaten van alle netwerkpun
ten veranderen niet, maar wel krijgt men in principe een
ander coördinatenstelsel met andere coördinaatgrootheden
waarvan de covariantiematrix door toepassing van de
voortplantingswet der varianties uit de eerstgenoemde co
variantiematrix kan worden berekend. In het algemeen
wordt het beeld van punt- en relatieve standaardellipsen
ook geheel anders dan in de eerste opzet. En toch beschrij
ven beide covariantiematrices de stochasticiteit van de
vorm van het netwerk even goed. Alleen je moet goed de
coördinatenstelsels uit elkaar houden.
We noemen de bovenbeschreven gelijkvormigheidstrans
formatie een „schrankingstransformatie" (of ,,S-transfor-
mation", S voor „similarity"). De twee beschreven coördi
natenstelsels zijn dan „schrankingsstelsels" met aanduiding
van de respectievelijke basispunten. Hierbij horen dan de
schrankingscovarianties, eveneens met aanduiding van de
basispunten. Andere schrankingstransformaties zijn moge
lijk, zoals mijn eerste (toen nauwelijks doorziene) opzet in
1944 van een overbepaalde gelijkvormigheidsaansluiting
aan de kansvrije coördinaten van meer dan twee punten,
oplopend tot alle netwerkpunten [1] [2] [4], Men krijgt
dan eenzelfde beeld als verkregen uit de vereffening van het
„vrije" netwerk met onbekenden (tweede standaardvraag
stuk), met behulp van verschillende typen gegeneraliseerde
inverse matrices. Als ik de publicatie [7] goed begrijp,
kunnen de resultaten met deze verschillende typen matrices
via schrankingstransformaties tot elkaar herleid worden.
Een leuk spelletje
Toen wij de betekenis en werkwijze van schrankingstrans
formaties onder de knie kregen en J. C. P. de Kruif goede
programmatuur had ontwikkeld, begon een leuk spelletje:
bet berekenen van de covariantiematrix van een netwerk in
verschillende gevallen van schrankingsstelsels. Na uitteke-
ning van punt- en relatieve standaardellipsen bleek dat deze
ellipsen kleinere afmetingen hadden naarmate het aantal
aansluitingspunten toenam. Dit ontlokte aan één van mijn
medewerkers, onder grote hilariteit van de aanwezigen, de
opmerking dat, bij beperking tot standaardellipsen en bij
gebruik van een „absoluut" criterium los van de schran-
kingsidee, vrijwel elk gemeten netwerk kon worden aan
vaard bij een handige keuze van het schrankingsstelsel.
Duidelijk was dus dat een criterium in dezelfde vorm moest
worden gegoten als de uit metingen berekende covariantie
matrix (verder ter afkorting „rekencovariantiematrix" ge
noemd), dus een positief-defmiete matrix („criterium-
covariantiematrix" genoemd) die in hetzelfde schrankings
stelsel als de rekencovariantiematrix zou moeten worden
opgebouwd. Met beide matrices corresponderen stan-
daardhyperellipsoïden met dimensie gelijk aan de rang van
de matrices. De criteriumstandaard-hyperellipsoïde zou
dan de rekenstandaard-hyperellipsoïde moeten omsluiten
bij aanvaarding van het gemeten netwerk. Is dit het ge
val, dan geldt deze omsluiting ook voor alle andere stan-
daard(hyper)ellipsoïden omdat deze
door eenzelfde projectie op ruimten
van lagere dimensie ontstaan. De om
sluiting blijft gelden na iedere schran
kingstransformatie. Een bezwaar blijkt
dat de omsluiting slechts in een be
perkt gebied eng kan zijn, maar verder
veelal te ruim is. Een oplossing hier
voor is nog niet gevonden.
Spookprobleem
Ik las eens dat aansluiting van het
„vrije" netwerk op RD-punten het
schrankingsidee overbodig maakt om
dat men dan verder werkt in het RD-
stelsel. Maar hier wreekt zich het ge
bruik van het woord „stelsel" in twee
betekenissen. Bij een schrankingsstel
sel gaat het om coördinaatgrootheden
met een kansverdeling in een scherp
gedefinieerd coördinatenstelsel; het
RD-stelsel is een verzameling van ge
tallen als coördinaat met een slecht
gedefinieerd coördinatenstelsel. Het
RD-netwerk is namelijk op een gam
mele manier vastgeprikt op een zwe
vende ellipsoïde en daarna dankzij de
geringe afmetingen van Nederland op
een handige wijze naar een plat vlak
getransformeerd. Wil je een covarian
tiematrix van de coördinaten bereke
nen, dan zul je een schrankingsstelsel
moeten kiezen, zoals in [3] is gedaan.
Maar nu kunnen wij alleen over RD-
coördinaatgrootheden spreken als een
criteriummatrix als vervangingsmatrix
in een lokaal schrankingsstelsel wordt
ingevoerd. Zulke vervangingsmatrices
zijn door ons inderdaad berekend uit
de analyse van lokale delen van het
RD-net [10].
In wezen is het RD-net dus een „vrij"
net. Wordt het RD-net opgenomen in
het Europese terrestrische driehoeks-
net, dan kan dit laatste net weer als een
„vrij" net worden beschouwd. Alleen,
in beide gevallen heeft men te maken
met een berekening op een gebogen
oppervlak en dan is de tweedimen
sionale gelijkvormigheidstransforma
tie in principe niet meer toelaatbaar.
Bekijk je dan ook de vereffeningsbere
kening van dit Europese netwerk, dan
zie je een rare vermenging van twee-
en driedimensionale rekenmodellen.
Voor mij is dit altijd een spook
probleem geweest, vooral nu ik dit
probleem ook zie opduiken in de
14
■997-1
GEODESIA
