gen - één voor elke meting - worden
hierna samengebracht tot een mathe
matisch model op basis waarvan de
vereffening kan worden uitgevoerd. In
de vereffening worden dan schattin
gen voor de onbekende parameters be
rekend. Symbolisch luidt het mathe
matisch model:
y
Ax
met:
y GPS-waarnemingen;
x onbekende parameters;
A design- of ontwerpmatrix.
De meetprecisie van de waarnemingen
wordt gespecificeerd in de covariantie-
matrix Qr
Enkelpuntsbepaling
Tot nu toe werden de metingen van
één enkele ontvanger naar één enkele
satelliet bekeken. Met drie afstanden
gemeten naar bekende punten, de
satellieten - kan de positie van de ont
vanger worden bepaald in de 3D-
ruimte (fig. 3). Voor enkelpuntsbepa
ling met GPS zijn echter vier pseudo-
afstanden nodig omdat de ontvanger-
ldokfout ook als onbekende optreedt.
Voor de andere foutenbronnen zoals
atmosferische vertragingen en satel-
lietbaanfouten worden correcties toe
gepast of ze worden verwaarloosd.
Daardoor zijn deze posities slechts tot
op tientallen meters nauwkeurig.
Enkel- (of absolute) puntsbepaling
wordt in het Engels „single point posi
tioning" genoemd. Het is het concept
waarvoor GPS oorspronkelijk is ont
worpen.
Mathematisch model
voor relatieve punts
bepaling
Vanuit de interferometrie is het con
cept van relatieve puntsbepaling ont
wikkeld (fig. 4). Met twee ontvangers
die gelijktijdig naar dezelfde satellieten
meten, worden de coördinaten van de
tweede ontvanger (rover) bepaald ten
opzichte van die van de eerste, de re
ferentie-ontvanger. De effecten van
fouten in de uitgezonden satelliet
positie en van de atmosferische vertra
gingen op de relatieve coördinaten zijn
klein. Ze zijn afhankelijk van de af
stand tussen de twee ontvangers ten opzichte van de satel
liet, die zo'n 20 000 km wegstaat. Deze fouten kunnen
voor lokale toepassingen (10 km) gewoonlijk worden ver
waarloosd.
Ip de verwerking wordt vaak gebruik-
\S gemaakt van de dubbel-verschil com-
binatie (double difference) van metin
gen. Dit toont het karakter van rela
tieve puntsbepaling (ftg. 5). Stel dat
twee ontvangers gelijktijdig meten
paar m satellieten, waarbij m meestal
ligt tussen 5 tot 8. Dit geeft per type
2m waarnemingen. In de enkel-ver
schil meting (single difference) is de
iatelliet-klokfout afwezig. Er zijn m
enkel-verschil metingen, één per satel
liet. Er zijn m satelliet klokfouten uit
het model verdwenen. Worden nu de
verschillen genomen' van de andere satellieten ten opzichte
van één referentie-satelliet, dan zijn er m-\dubbel-ver
schil metingen. De ontvanger-klokfout is nu ook vervallen.
De overtalligheid blijft dus steeds hetzelfde.
In het mathematisch model voor relatieve GPS-puntsbe-
paling over korte afstanden zijn in de aanpak met dubbel-
verschil metingen ils onbekenden aanwezig in vector x
de basislijncoördinaten en voor de fasemetingen de meer
duidigheden. De vector y bevat dubbel-verschil combina
ties van de code- en fasemetingen. Van de dubbel-verschil
fasemeerduidigheden is bekend dat ze gehele getallen zijn.
Om dit tot uitdrukking te brengen wordt het mathema
tisch model opgesplitst volgens:
y ArXr Aixj
met:
Fig. 4.
Relatieve punts
bepaling.
Fig 5.
Dubbel-verschil
combinatie.
drie basislijn-coördinaten, xrgR^;
2{m-l) ^eheeltallige dubbel-verschil fasemeer
duidigheden bevat, xj€ Z2^m'^ als er dubbel fre
quentie fasemetingen naar m satellieten zijn;
Ar en Aj de overeenkomstige delen van de design- of ont
werpmatrix.
Het model bevat dus zowel reële als
geheeltallige onbekende parameters.
Dit geeft aanleiding tot een extra stap
in de gegevensverwerking.
Gegevensverwerking
Schatten
Op basis van het mathematisch model
en de waarnemingen kunnen volgens
het kleinste-kwadratenprincipe schat
tingen voor de onbekende parameters,
de basislijn-coördinaten en de meer
duidigheden worden bepaald. De
meerduidigheden zijn in principe constanten. De basislijn
coördinaten zijn ;ook constant als de tweede ontvanger
statisch is. Wanneer de tweede ontvanger (de rover) be-
121
GEODESIA
1998-3
XR
XI
