Hoofdstuk 4 introduceert het wiskundig gereedschap dat
in de hoofdstukken erna zal worden gebruikt. Dit betreft
als eerste de verzamelingenleer met concepten als: lege ver
zameling, universum, elementen in een verzameling, de
verzamelingsoperatoren, doorsnede, vereniging, cartesisch
product, enzovoort. Ook komen de relaties tussen verza
melingen aan de orde, inclusief een korte introductie van
de relationele calculus en fuzzy (onzekere) relaties. Ver
volgens komt de punten-verzamelingenleer aan de orde om
later als formele basis van de topologische relaties te gaan
dienen. Hierbij wordt scherp gedefinieerd wat de binnen
kant, de buitenkant en de rand van een object is met be
hulp van de 'kleiner dan epsilon' formules. Verder komt
een aantal concepten uit de graaftheorie aan bod: knoop
(node), zijde (edge), gerichte graaf, verbonden graaf, graaf
van een knoop, planaire graaf, en de regel van Euler voor
een planaire graaf: f+n-e=c+l, waarin f, e, en n respectieve
lijk staan voor aantal laces, edges en nodes en c het aantal
verbonden graafcomponenten aangeeft. Een aantal graaf
edges achter elkaar gekoppeld via nodes die behalve bij be
gin- en eindnode geen aftakkingen kent, wordt g-segment
genoemd. Tot slot eindigt hoofdstuk 4 met de begrippen
simplex (0-, 1-, 2-simplex, respectievelijk punt, lijnsegment
en driehoek) en het samenstel daarvan, complex, dat wil
zeggen een verzameling buur-simplexen. De samengesmol
ten vorm, door verwijderen van interne zijden, van een
complex wordt met de term cell aangeduid: 0-, 1- en 2-cell,
voor respectievelijk node, g-segment en face. Voor wie nog
niet bekend is met deze wiskundige technieken, zal dit
hoofdstuk toch te beknopt zijn. Voor wie er echter wel be
kend mee is, vormt dit hoofdstuk een mooi overzicht.
Zoals in de inleiding van deze boekbespreking al aange
geven vormt het formele dataschema (fds) de kern van de
modelleertheorie en het onderwerp van hoofdstuk 5. De
eerder in hoofdstuk 3 intuïtief beschreven regels worden nu
met behulp van de wiskundige technieken uit hoofdstuk 4
geformaliseerd. Dit geldt voor zowel de relaties op het
niveau van basis-geometrisch type (node, edge, face), als
voor de relaties op het niveau van geometrische object
typen, en voor hun onderlinge relaties (zie fig.). Verder
34
wordt ook het (g-)segment formeel ge
definieerd als een keten van edges
(lijnsegmenten) zonder vertakkingen
op de tussennodes. Wederom wat ge
forceerd wordt getracht te doen alsof
vector- en rastermodellen gelijk zijn
door het rastermodel in de vorm van
een vectormodel te beschrijven: in
houd van de rastercellen vormen de
faces, de zijden van een cell vormen de
edges en de kruisingen van de raster-
lijnen vormen de nodes. Nou en? Veel
nuttiger is het formele onderscheid
tussen single valued vector map
(swm), de planaire partitie en de mul-
ti valued vector map (mwm), waarin
(vlak)objecten wel (gedeeltelijk) mo
gen overlappen.
Hoofdstuk 6 beschrijft de topologische
relaties tussen objecten op basis van de
'9-doorsneden'-methode van Egenho-
fer, dat wil zeggen de doorsneden van
de verzamelingen binnenkant, buiten
kant en rand van het ene object met
die van het andere object. Dit geeft
negen paren van doorsneden, die elk in
principe leeg of niet leeg kunnen zijn
oftewel tot 512 soorten topologische
relaties zouden kunnen leiden. Deze
zijn echter lang niet altijd realiseerbaar.
In de swm blijven er voor vlak-vlak re
laties slechts drie over en in de mwm
zijn dit er nog maar zeven. Hier staat
een kleine typefout in het boek: Tabel
6.2 geeft aan dat dit er zes zouden zijn,
maar in figuur 6.1 zijn al zeven ver
schillende topologische relaties zicht
baar (dit laatste is correct). De formele
definitie van de geldige topologische
relaties kunnen nu worden gebruikt bij
het afdwingen van database-consisten
tie. Tevens vormen de topologische
relaties de basis van de nabuurgraaf,
die goed gebruikt kan worden in ruim
telijke analyses en operaties (zoals ge
neralisatie). Overigens worden de to
pologische relaties vooral op wiskun
dig (conceptueel) niveau besproken en
wordt er geen woord gerept over één
van de grootste problemen in de prak
tijk hierbij: hoe bepaal je nu dat een
lijn een andere lijn nu net wel of niet
raakt (tolerantie in verband met eindi
ge discrete computerrepresentaties van
punten, lijnen en vlakken). Een bron
van spanning is dat de modellen van de
vaak continue werkelijkheid geïmple
menteerd worden met behulp van een
discrete computer.
2000-I
GEODESIA
Part.
Back
Repr
Forw
22
Le
ISIN
iiiimiiilh
face
node
segment
End
Forw.
Back
Begin
edge
