Aangezien er meer waargenomen parameters dan onbeken
den zijn, is het probleem weliswaar oplosbaar, maar bestaat
er geen eenduidig verband: er is sprake van overtalligheid
of overbepaaldheid. Dit hoeft zeker geen probleem te vor
men om een eenduidige oplossing te verkrijgen, integen
deel: de overtallige waarnemingen kunnen worden ge
bruikt 0111 de berekeningen intern te controleren en om
bovendien de nauwkeurigheid in te schatten, waarmee de
transformatie bepaald kan worden. De
methode der kleinste kwadraten is
uitermate geschikt om deze overtalli
ge waarnemingen te exploiteren door
statistisch de best mogelijke oplossing
te bepalen en er de standaardafwij
king op te berekenen.
Methode der kleinste kwadraten
De methode der kleinste kwadraten
wordt eerst even toegelicht zonder uit
gebreid op de theoretische grondsla
gen in te gaan [1], waarna het principe wordt toegepast op
het voorliggende probleem van de coördinatentransforma
ties in drie dimensies.
Indien het functionele model tussen de waargenomen para
meters en de onbekenden lineair is en er slechts één waar
genomen parameter per vergelijking is, is het van de vorm
Ax s 0. Er is dan een rechtstreekse oplossing. Zoals verder
wordt aangetoond, is het verband in deze toepassing echter
niet lineair maar goniometrisch en is er meer dan één waar
genomen parameter per waarnemingsvergelijking.
Indien het verband niet lineair is of indien er meer dan één
waargenomen parameter per vergelijking is, kan het model
worden uitgedrukt als Ax Cs 0 of
Ax C(l+v) 0 V4
De oplossing hiervoor is bepaald door de voorwaarde dat we
de som van de kwadraten van de residuen v wensen te
minimaliseren (vandaar: methode der kleinste kwadraten).
Of in formulevorm:
v'v
minimum
Zonder in detail in te gaan op de afleiding hiervan kan
worden gesteld dat de algemene oplossing voor de vector x
gegeven is door:
x N"1B'
(AtQ71A)_1 .AtQT1 (-C1) V 5
(A'fCW-1 C')-1 A)"1 .At(CW"1Ct)-1(-a)
De verschillende matrices in V5 zijn [2]
x Vector van de partiële afgeleiden van de waarnemings
vergelijkingen naar de onbekenden:
dx,
dx2
x
dxn
Fig. 3.
Peilschip 'Zwaan'
in het droogdok
voor kalibratie-
metingen.
A
dX[ dx2
dF2 9F2
dxx dx2
dFm dFm
dFi
dxn
dF2
dxn
dFm
met 1\ waarnemingsvergelijking i
m aantal waargenomen para
meters
n aantal onbekenden
s vector van de partiële afgeleiden
van alle waarnemingsvergelij kin
gen naar elk van de waargenomen
parameters;
C coëfficiëntenmatrix van de partiële
afgeleiden van alle waarnemings
vergelijkingen naar elk van de waar
genomen parameters. De opbouw is
analoog aan die van matrix A;
W gewichtenmatrix voor de waargeno
men parameters. De matrix W is de
inverse van D, de covariantiematrix
voor de waarnemingen. De matrix
W~1=D bevat dus de varianties g2
op de hoofddiagonaal en de cova-
rianties tussen de parameters on
derling op de andere plaatsen;
1 vector met de O-C-waarden (obser
ved - calculated) van de waargeno
men parameters;
v vector met de residuen waarvoor de
som van de kwadraten geminimali
seerd wordt met de methode der
kleinste kwadraten.
Alle matrices in de rechterzijde van V5
zijn bekend. Daar waar voor de onbe
kenden een waarde moet worden inge
vuld, wordt een benaderde waarde ge
bruikt. Dit wordt verder uitgelegd aan
de hand van de voorliggende toepas
sing.
Onze toepassing heeft zes onbeken
den: de transformatieparameters co,
k, X0, Y0 en Z0. Elk van de vijf waarge
nomen punten bevat drie coördinaten,
dus elk punt levert drie waarnemings
vergelijkingen. Daardoor zijn de di-
Tabel 1.
Dimensies van
de matrices in
de vergelijking
van de kleinste
kwadratenoplossing
A Coëfficiëntenmatrix van de partiële afgeleiden van de
waarnemingsvergelijkingen naar de onbekenden, ook
wel de Jacobiaan genoemd:
aantal
dimensies
in het praktijk
voorbeeld
X
n x 1
6 x 1
A
m x n
15 x 6
s
m x 1
15 x 1
C
m x m
15x15
W
m x m
15x 15
L
m x 1
15 x 1
GEODESIA 2002-2
