A"-ar0
X^}
rA
zA
z'
dxA
A,3"5Z0"°
dxA
dxA
dxA
A2i~dX0~° An 1
cJYA
dzA
A3i~dx0'°
JZa
dZ0
mensies van de voorgaande matrices
Xo
X0
zoals voorgesteld in tabel 1.
Y0
1?
K(p(0
Y'a
Y0
Zo
Z'a
Zq,
De oplossing voor de vector x is zoals
gesteld van de vorm: x N_1B'. Deze
vector is echter een vector van partiële
afgeleiden. Hij moet worden bijgeteld
bij de voorlopige coördinaten om tot
een oplossing voor de feitelijke onbe
kenden te komen.
Waarnemingsvergelijkingen in de
methode der kleinste kwadraten
De waarnemingsvergelijkingen die het
wiskundig verband tussen de geobser
veerde parameters - de (X, Y, Z-)coördi-
naten van elk van de punten - en de
onbekende parameters (co, <j), k, X0, Y0,
Z0.) weergeven, worden gegeven door
het functionele model:
XA - X0 X' 4
V 6
De matrices in deze vergelijking zijn
gegeven door:
coördinaten in het scheeps-
coördinatensysteem A3;
X0 vector van de onbekende trans
latieparameters;
X'/j coördinaten in Al, het coördi
natensysteem waarin de resul
taten van de metingen in het
droogdok zich bevinden. Deze
coördinaten worden als con
stanten behandeld, aangezien
zij als referentie dienen;
driedimensionele R^R^R^ ro-
tatiematrix met de onbeken
den co, en k.
R
K(pO)
De matrices R(u, R^ en Rv zijn gedefi
nieerd in een rechtshandig assenkruis
en zijn daarom van de vorm (let hierbij
op het verschil met de voorheen gede
finieerde tweedimensionele rotatie-
matrix, die in klokrichting roteert, in
tegenstelling tot de hier beschreven ro
taties in drie dimensies):
(10 0 1
RfU I 0 cos co sin co
0 - sin co cos
R ip -
cos <p
0
sin cp
cos K
- sin k
0
0 -sin cp
1 0
0 cos cp
sin k 0
cos k 0
0 1
Na vermenigvuldiging van de drie ro-
tatiematrices en invulling in het func
tionele model verkrijgt men:
cos cp cos k cos cp sin k - sin cp
sin co sin cp cos k - cos co sin k cos co cos k sin co sin cp sin k sin co cos cp
sin co sin k cos co sin cp cos 1c cos co sin cp sin k - sin co cos k cos co cos cp
X'A\
Ya V7
AI
hi
X0 (cos cp cos k) X'a (cos cp sin k) Y'a (- sin ip) Z'A - XA 0
Y0 (sin co sin cp cos k) - cos co sin k) X\
(cos co cos k+ sin co sin cp sin k) Y'A (sin co cos cp) Z'A - YA 0
Z0 (sin <u sin xcos co sin cp cos k) X'A
(cos co sin cp sin x- sin co cos k) YA (cos co cos cp) Z'A - ZA 0
Tabel 2.
Waarnemings
vergelijkingen van
het functionele
model voor een
3D-coördinaten-
transformatie.
De drie verschillende waarnemingsvergelijkingen van het
functionele model waartoe elk betrokken punt aanleiding
geeft, kunnen aldus in extenso worden voorgesteld zoals in
tabel 2. Het is duidelijk dat het verband tussen de onbe
kenden en de waargenomen parameters niet lineair, maar
goniometrisch is. Daarom is een eenvoudige oplossing niet
mogelijk en moet de algemene vorm van de methode der
kleinste kwadraten worden gebruikt. Deze methode vereist
dat de partiële afgeleiden van de waarnemingsvergelijkin
gen naar zowel de geobserveerde parameters als de on
bekenden worden gevonden. Het gaat dus om de partiële af
geleiden naar zowel de coördinaten XA, YA en ZA van elk
betrokken punt als naar de zes onbekenden X0, Y0, Z0, co,
cp en x. Hieronder staan de coëfficiënten van de partiële
afgeleiden van de drie waarnemingsvergelijkingen naar de
zes onbekenden, kortweg de elementen van de matrix A,
uitgewerkt
dXA
A" W0=°
A"=^=1
a15 - (sin cp cos k) X'A - (sin cp sin k) Y'A - (cos cp) Z'A
dXA
a16 - (cos cp sin k) X A (cos cp cos k)YA
3Ya
'dY0'
'ÓYa
An dZ0
dVA
A24 _=(sin «sin x+cos ft) sin cp cos k)XA
(- sin ft) cos k+ cos co sin cp cos k) Y'A (cos co cos cp) Z'A
dYA
A25 (sin co cos cp cos k) X A +(sin co cos cp sin k) YA
COS ft) cos cp) Z'A
'ÓYa
X-20 cos wcos K~ sin «sin <psin k) XA
(- cos ft) sin k+ sin ft) sin cp cos k) Y'A
dZA
*■32
dY0
0
c)ZA
A34 (cos ft) sin K- sin ft) sin cp cos k) X A
(- cos co cos k - sin ft) sin cp sin k) Y'A (-sin co cos cp) Z'A
GEODESIA 2002-2
