liteit om meer complexe objecten te
vormen. Het model is gebaseerd op de
theorie van de Poincaré-algebra en
heeft daarmee een solide fundament.
3D-topografisch model in
een TEN-datastructuur
Als we topografie zien als de verzame
ling van fysieke objecten kunnen er
twee opmerkingen worden gemaakt
voor wat 3D-topografisch modelleren
betreft:
1. de fysieke objecten hebben per defi
nitie een inhoud (volume). Er be
staan in de werkelijkheid geen ech
te punt-, lijn- of vlalcobjecten; er be
staan slechts punt-, lijn-, of vlalcre-
presentaties op een gegeven genera
lisatieniveau. Welke weergave zou
moeten worden gebruikt is aange
geven in het Digitaal Cartografisch
Model (DCM), maar niet in het Digi
taal Landschaps Model (DLM) dat de
3D-topografie bevat;
2. de fysieke werkelijkheid kan be
schouwd worden als een volume-
partitie: een verzameling van niet-
overlappende volume-objecten die
tezamen de te modelleren ruimte
geheel vullen. Als gevolg hiervan
zijn objecten als 'aarde' en 'lucht'
expliciet onderdeel van de fysieke
werkelijkheid en dus van het mo
del.
De topografische gegevensverzameling
bestaat dus uit volumeobjecten. Toch
kunnen in sommige gevallen ook vlak-
objecten nuttig zijn aangezien deze be
langrijke overgangen markeren tussen
twee volumeobjecten. Vlalcobjecten
kunnen hun eigen attributen hebben,
zoals oppervlaktemateriaal en kleur,
maar ze kunnen niet bestaan zonder de
aanwezigheid van deze volumeobjec
ten. Een vlalcobject kan worden gezien
als de eerste afgeleide van een volume
object (en dit zou herhaald kunnen
worden voor lijn- en puntobjecten). In
het UML-klassediagram (fig. 3a en 3b)
zijn de vlalcobjecten dan ook als associ
atieklassen gemodelleerd.
De keuze om expliciet Tucht' en
'aarde'-objecten mee te nemen (eigen
lijk de 'lege' ruimte tussen de fysieke
objecten) is mede ingegeven door het
feit dat deze 'lege' ruimte vaak het
onderwerp van analyse is. In geval van
modelleren van luchtverontreiniging, dijkdoorbraak of
overstroming, is de gebruiker geïnteresseerd in wat er met
deze 'lege' ruimte gebeurt.
Poincaré algebra
De TEN is de 3D-tegenhanger van het welbekende TIN (getri-
anguleerd onregelmatig netwerk). Behalve knopen, zijden
en driehoeken, bestaat een TEN uit tetraheders voor het re
presenteren van volumeobjecten. Knopen, zijden, driehoe
ken en tetraheders zijn alle simplexen, dat wil zeggen de
meest eenvoudige primitieven in de gegeven dimensie. Het
modelleren van 3D-objecten met simplexen is beschreven
door [Carlson, 1987]. Het gebruik van simplexen heeft een
aantal voordelen:
1. simplexen zijn goed gedefinieerd: een lcD simplex wordt
begrensd door k+1 (lc-l)D simplexen [Egenhofer et al,
1989]; voorbeeld: een 2D-simplex (driehoek) wordt be
grensd door drie lD-simplexen (zijden);
2. vlakheid van elke driehoek, aangezien drie punten per
definitie in een vlak liggen;
3. elke simplex is convex, ongeacht de dimensie.
Een direct gevolg van het goed gedefinieerde karakter van
simplexen en daarmee een TEN, is de beschikbaarheid van
3D-topologische relaties. Daar waar in 2D (TIN) veel belang
rijke topologische relaties zijn gerelateerd aan de zijde (bij
voorbeeld: een zijde heeft een driehoek links en een drie
hoek rechts), zijn in 3D veel van de belangrijke relaties te
vinden op het niveau van de driehoek. Elke driehoek be
grenst twee tetraheders. Links en rechts zijn betekenisloos
in 3D maar via de ordening van de zijden binnen een drie
hoek lean de richting van de normaalvector van de driehoek
worden bepaald. Hiermee lean dus een tetraheder in positie
ve en negatieve richting worden aangegeven. De n-dimen-
sionale simplex wordt gedefinieerd door n+1 knopen en dit
wordt als volgt genoteerd: Sn <x0,...,xn>.
De eerste vier simplexen zijn dus respectievelijk van OD
naar 3D: S0 <x0>, S2 <x0, x2>, S2 <x0, x2, x2>, en S3
<x0, x2, x2, x3>. De (n+1) knopen geven (n+1)! combinaties
van deze knopen, oftewel resp. 1, 2, 6 en 24 opties voor OD,
1D-, 2D- en 3D-simplexen. Voor S2 zijn de twee combinaties
<x0, x2> and <x2, x0>, waarvan de eerste (van begin naar ein
de) positief wordt genoemd en de tweede negatief (-). De
2D-simplex heeft zes combinaties S2: <x0, x2, x2>, <x2, x2, x0>,
<x2, x0, x2>, <x2, x2, x0>, <x0, x2, x2> en <x2, x0, x2>. De eer
ste drie hebben de tegenovergestelde oriëntatie aan de
tweede set van drie, dus er lean worden gesteld dat <x0, x2,
x2> - <x2, x2, x0>. De positieve oriëntatie is tegen de lclolc
indraaiend en de negatieve oriëntatie is met de lclolc
meedraaiend (-). Voor de 3D-simplexS3 <x0, x2, x2, x3> zijn
er 24 verschillende combinaties, waarvan er twaalf gerela
teerd zijn aan de positief georiënteerde tetraheder alle
normaalvectoren wijzen naar buiten) en de overige twaalf
betreffen de negatief georiënteerde tetraheder (-, alle nor
maalvectoren wijzen naar binnen). Aangezien er dus ver
schillende equivalente notaties zijn, is het handig om een
afspraak te maken over de voorkeursnotatie, bijvoorbeeld
de combinatie met positieve oriëntatie met knopen met de
GEO-INFO 2006-5
