laagste id's als eerste. Volgens de Poincaré-algebra bestaat
de grens van een simplex uit de volgende som van (n-1) di
mensionale simplexen (weglaten van de ide knoop en het
om en om afwisselen van de en - tekens):
x2, x0>. Wanneer ook hier weer naar de
zijden wordt gekeken dan valt het op
dat elke zijde één keer in positieve en
één keer in negatieve richting wordt
gebruikt.
n
1)' Xn
i 0
Dus de grens van dS1 <x0, x3> is <x3> - <x0> en de grens
van öS3neg <x3, x0> zou zijn <x0> - <x3>. De grens van dS2
<x0, x3, x2> is <xlf x2> - <x0, x2> <x0, x3>. Op soortgelijke
manier kunnen de grenzen van de andere vijf combinaties
van S2 gegeven worden. Tenslotte de grens dS3 <x0, x3, x2,
x3> is <x3, x2, x3> - <x0, x2, x3> <x0, x3, x3> - <x0, x3> x2>
(en soortgelijk voor de 23 andere combinaties). Kijkend
naar de grenzen van een tetraheder, dat wil zeggen de gren
zen van de driehoeken (de zijden dus), blijkt dat elke zijde
exact één keer in de positieve richting en één keer in de ne
gatieve richting voorkomt binnen de tetraheder. Een ander
interessant resultaat van de Poincaré-algebra is het aantal
lager dimensionale simplexen die voorkomen als (in)direc-
te grens van een gegeven simplex:
Sn heeft
n 1
p+1
grenssimplexen van dimensie p met (0 p n)
Dus S2 (driehoek) bestaat uit drie OD-simplexen (knopen) en
drie lD-simplexen (zijden). De simplex S3 heeft respectieve
lijk 4, 6 en 4 0D, 1D en 2D-grenssimplexen. Wanneer buur-
simplexen van gelijke dimensie worden samengevoegd dan
wordt hun gemeenschappelijke grens verwijderd zoals aan
gegeven in fig. 2a. Neem bijvoorbeeld de buurdriehoelcen
<x0, x3, x2> en <x0, x2, x3> dan resulteert het samenvoegen
van al hun grenzen (zijden) in: (<x3, x2> - <x0, x2> <x0, x3>)
(<x2, x3> - <x0, x3> <x0, x2>) <x3, x2> <x0, x3> <x2,
x3> - <X0, x3> <x3, x2> <x0, x3<x2, x3> <x3, x0>.
Merk dus op dat de gemeenschappelijke grens <x0, x2> is
verdwenen. Op een zelfde wij ze resulteert het samenvoegen Samengevoegde
van twee buurtetraheders <x0, x3, x2, x3> en <x0, x2, x4, x3> simplex buren
en het optellen van hun grenzen (driehoeken) in <xl,x2,x3> vormen een complex
<x0, x3, x3> <x2, x3, x0> <x2, x4, x3> <x3, x4, x0> <x4, in (a) 2D en fb) 3D.
Fig. 2.
De samengevoegde buur n-simplexen
worden een 'simplicial complex' of n-
cell genoemd. Het is goed mogelijk
om een topologische structuur te bou
wen voor een verzameling verbonden
n-simplexen (inclusief al hun lager di
mensionale grenzen: 0,.., n-1 sim
plexen) die het n-dimensionale do
mein geheel opdeelt. In 3D wordt dit
het tetraheder netwerk (TEN) ge
noemd. Binnen zo'n netwerk is het
niet alleen interessant om naar de
grens van een simplex te kijken maar
ook naar de co-grens, oftewel van wel
ke hoger dimensionale simplexen de
gegeven simplex zelf een grens is. Zo
bestaat bijvoorbeeld de grens van een
driehoek uit drie zijden en de co-
grens van de driehoek uit twee tetra-
heders. Op soortgelijke manier be
staat de grens van een zijde uit twee
knopen en de co-grens uit twee of
meer driehoeken.
3D-topografïe model gebaseerd op een
TEN
Redelijk dicht bij dit model komen de
implementaties in Panda [Egenhofer
et al, 1989] en Oracle Spatial; beiden
gaan echter maar tot twee dimensies
en
zijn gebaseerd op complexen
(samengevoegde buur-simplexen van
eenzelfde dimensie, of te wel de n-cel-
len) en niet op de simplexen zelf.
Er zijn drie verschillende conceptue
le TEN-modellen ontwikkeld. Hoewel
deze alle drie ongeveer een gelijke be-
(a)
S21 X0, Xj, X2 enS22 X0, X2, X3
C2 Xj, x2 - x0, x2> x0, Xj
x2, x3
*0> *2
x3, x0
■V,
x3, x2 x0, x3 x2f x3
x3, x0
(b)
S31 x0, x3, x2, x3 en S32 x0, x2, x4, x3
C3 x3, x2, x3 - x0, x2, x3 x0f x3, x3
- x0, x3> x2 x2, x4, x3> - x0, x4, x3
X0, X2, x3 X4, X2, Xq
x3, x2, x3 x0, x3, x3 - x0, x3, x2
X2, X4, X3> - x0, X4f X3> X4, X2, Xq
GEO-INFO 2006-5
ft
t
O
