z
5
474
staande definitie met vier delen, in plaats van alleen het
eerste deel (((A0x B®yj C®z) Dj O, is gebruikt om
een representatie zonder aparte randen (begrenzingen) te
hebben. De punten die op het vlak liggen behoren of bij de
ene kant of bij de andere kant (afhankelijk van de oriënta
tie van het vlak). Hoewel er meerdere mogelijkheden zijn,
is het gebruik van domein-beperkte rationele-getallen voor
de ordinaten (x, y, en z) het meest geschikt (bij het gebruik
van gehele getallen voor A, B, C, en D). Op deze wijze kun
nen de doorsneden exact worden gerepresenteerd in een
digitale computer, zonder tolerantie of afrondfouten. Door
het doorsnijden van halfruimten kan een (mogelijk open)
convex polytoop worden gedefinieerd:
C Hj waarbij Hh i=l..n een verzameling halfruimten is.
Figuur 4 en 5 tonen respectievelijk 2D- en 3D-voorbeelden
van een convex polytoop. Merk op dat de definitie van
convexe polytopen kan resulteren in open objecten (fig. 4
rechts). Een kleine gesloten cirkel is gebruikt om aan te ge
ven dat het betreffende punt bij het object hoort terwijl een
open gestippelde cirkel aangeeft dat dit niet het geval is. Zo
wordt een doorgetrokken lijn in deze figuren gebruikt om
aan te geven dat punten op deze lijn behoren bij het object
in kwestie terwijl een stippellijn aangeeft dat dit niet het
geval is (in 3D is via donkere tinten van vlakken aangegeven
dat deze wel tot het object behoren en lichtere tinten dui
den aan dat dit niet zo is). Door het verenigen van convexe
polytopen ontstaat vervolgens het regulier polytoop:
0 M Cj waarbij Q, i=l..m niet-lege convexe polytopen zijn.
Fig. 4. Convexe
polytopen in 2D
gedefinieerd door
halfruimten (links
gesloten, rechts
open).
Fig. 5. Een convex
polytoop in 3D
gedefinieerd door
halfruimten.
Figuur 6 laat een 2D-voorbeeld van een
regulier polytoop zien. De gebruikte
convexe polytopen zouden mogen over
lappen (maar de overlap heeft geen
bijzondere betekenis). Dit is overigens
niet het geval in figuur 6. Merk verder
op dat een regulier polytoop volgens
de gegeven definitie uit meerdere niet-
verbonden delen zou kunnen bestaan,
maar ook dit is in het voorbeeld van fi
guur 6 niet het geval.
Fig. 6. Definitie
van een regulier
polytoop door een
drietal convexe
polytopen.
In [Thompson, 2007] zijn de definities
verder gegeven in axiomatische vorm,
zodanig gestructureerd dat het een re
presentatie zonder expliciete grenzen
vormt, die geldig is in elke dimensie.
Hoewel het hier vooral in 3D wordt
gebruikt, wordt er ook een specifieke
vermelding gemaakt van het gecombi
neerde gebruik in 2D en 3D. Dit heeft
dan vele toepassingsgebieden, zoals
kadastrale eigendomspercelen (zie vo
rige paragraaf).
Een belangrijk kenmerk is dat door
de specifieke representatie van half
ruimten naburige reguliere polytopen
geen enkel punt gemeenschappelijk
hebben en dat er ook geen enkel punt
tussen hen in valt. Het is dus mogelijk
om een complete partitie (opdeling)
van de ruimte te maken, zodanig dat
elk computationeel representeerbaar
punt precies in één gebied valt. Figuur
7 toont een convexe polytope C en het
complement hiervan C UC.
Merk op dat C en C geen enkel punt ge
meenschappelijk hebben, maar samen
wel de gehele ruimte bedekken. Bij
zonder is ook dat het regulier polytoop
geen (hoek)punten gebruikt om de me
trische informatie te representeren zo
als dit wel gebeurt in de meer traditio
nele weergaven van polygonen (in 2D)
en polyhedra (in 3D). Bij reguliere po
lytopen wordt de metrische informatie
gespecificeerd via de halfruimten door
drie of vier (in respectievelijk 2D en
3D) gehele getallen.
:=1 ..4
GEO-INFO 2007-12
