en 'doorsnede' en het gebruik van vec
torachtige representaties. De huidige
gangbare geometrische representaties
zoals polygonen in 2D of polyhedra in
3D leiden wellicht tot de indruk dat de
representaties een topologische ruim
te vormen (en/of een vectorruimte)
maar dit is helaas niet het geval, zoals
bleek uit de voorbeelden in de eerste
paragraaf. Het gebruik van het regu
lier polytoop biedt ook hier de oplos
sing.
Conclusie
Met het regulier polytoop is aange
toond dat het wel degelijk mogelijk
is om geometrische objecten robuust
te representeren in een digitale om
geving; theorie en praktijk gaan hier
hand in hand. De oplossing heeft niet
alleen maar voordelen: zo is het flink
wennen om objecten niet door hoek
punten (en zijden) te definiëren maar
met halfruimten als basiselement.
Toch heeft deze aanpak ook direct
weer voordelen: het sluit erg goed
aan bij moderne inwintechnieken als
laserscannen waarbij getracht wordt
objecten te reconstrueren door het
zoeken van vlakken door de gemeten
puntenwolken. Verder onderzoek is
nodig naar regulier polytopen die zijn
opgebouwd met niet-platte begrenzin
gen zoals cirkelbogen (in 2D) of delen
van bollen- en cilinderoppervlakken
(in 3D). Regulier polytopen represente
ren alleen de hoogst-dimensionale ob
jecten in een gegeven ruimte; bijvoor
beeld alleen volumeobjecten in een
3D-ruimte en vlakobjecten in een 2D-
ruimte. Nader onderzoek moet uitwij
zen of ook lager-dimensionale objec
ten op elegante wijze zijn in te passen
zodat bijvoorbeeld ook punt-, lijn- en
vlakobjecten in 3D kunnen worden
toegepast.
Literatuur
Düntsch, I. en M. Winter, Algebraiza-
tion and Representation of Mereotopolo-
gical Structures. Relational Methods
in Computer Science 1-2004,
p. 161-180.
Kazar, B.M., R. Kothuri, P. van Oos-
terom en S. Ravada. On Valid and
Invalid Three-Dimensional Geometries.
2nd International Workshop on 3D
Geo-Information: Requirements,
Acquisition, Modelling, Analysis,
Visualisation, 12-14 december 2007,
Delft.
Lott, R., 0GC Abstract Specification Topic 2, Spatial referen
cing by coordinates. 04-046r3, 2004.
Randell, D.A., Z. Cui en A.G. Cohn. A spatial logic based on
regions and connection. 3rd International Conference on
Principles of Knowledge Representation and Reasoning,
Cambridge MA, USA, Morgan Kaufmann, 1992.
Stoter, J., 3D Cadastre. PhD thesis, Delft University of
Technology, 2004.
Thompson, R.J., Towards a Rigorous Logic for Spatial Data
Representation, PhD thesis, Delft University of Techno
logy, 2007.
Van Oosterom, P., W. Quale en T. Tijssen, About Invalid,
Valid and Clean Polygons. Developments In Spatial Data
Handling. P. F. Fisher. New York, Springer-Verlag: 1-16,
2004.
Samenvatting
Het regulier polytoop
Het representeren van geo-informatie in een eindige digitale
computer en het werken met deze representaties geeft soms on
verwachte fouten doordat de achterliggende wiskunde uitgaat
van reële getallen (met oneindige nauwkeurigheid). In dit artikel
wordt een oplossing voorgesteld om een representatie te baseren
op axioma's die bewijsbaar te ondersteunen zijn in een eindige
digitale computer: het regulier polytoop. Er is een prototype im
plementatie van het regulier polytoop datatype gemaakt en deze
is vervolgens getest met echte gegevens. Bijzonder is dat de repre
sentatie ook erg geschikt is voor het combineren van objecten van
verschillende dimensies; in de gepresenteerde test een mix van 2D
en 3D kadastrale percelen.
Summary
The representation of geo-information in a finite digital computer
and working with these representations sometimes leads to unex
pected error, because the mathematics behind this is based on real
numbers (with an infinite accuracy). This article presents a solu
tion to base a representation on axiomata that can be proven to be
supported in a finite digital computer: the regular polytope. A po
lytope implementation of the regular polytope data type has been
created and this one has been subsequently tested with real data. It
is striking that the representation is suitable for combining objects
in different dimensions; in the test presented this is a mix of 2D and
3D cadastral parcels.
Résumé
La représentation de géo-information dans un ordinateur digital
fini et lefait de travailler avec des représentations donnent parfois
des résultats inattendus paree que les mathe'matiques qu'on utilise
sous-entendent des nombres réels (avec une précision infinie). Dans
cet article on propose une solution tendant a représenter par le bi-
ais d'axiomes qui peuvent être démontrés dans un ordinateur a cal-
culfinile type de données de polytope régulier.
477
The regular polytope
Le polytope régulier
GEO-INFO 2007-12
