Myriahedrale projecties
De wereld uitgevouwen
Myriahedrale projecties zijn een nieuwe klasse van methodes om wereldkaarten te maken. Het principe
is eenvoudig: de globe wordt opgedeeld in een zeer groot aantal facetten en vervolgens wordt deze in
facetten ingedeelde bol uitgevouwen. Dit leidt tot projecties vrijwel zonder vervorming, maar natuurlijk
wel met veel onderbrekingen. Door te variëren met de opdeling en de wijze van uitvouwen kunnen allerlei
onverwachte afbeeldingen van de wereld worden verkregen.
Achtergrond
Jack van Wijk, hoogleraar visualisatie Technische Universiteit Eindhoven
Het afbeelden van het aardoppervlak is
een klassiek probleem. Het probleem om
de ronde aarde af te beelden op een plat
vlak heeft vele kartografen, wiskundi
gen en uitvinders uitgedaagd en er zijn
honderden oplossingen voor ontwikkeld.
Een belangrijke reden hiervoor is dat er
geen oplossingen bestaan waarbij geen
vervorming optreedt en deze onvermijde
lijke vervorming kan op allerlei manieren
over de kaart worden verdeeld.
Als leek zou je je kunnen afvragen waarom
kaartprojectie een probleem is. Een kaart
van een klein gebied (zeg, een stad als
Eindhoven) is vrijwel vrij van vervorming,
omdat de kromming van het aardopper
vlak hier verwaarloosbaar is. Om een kaart
van de wereld te maken hoeven we alleen
maar een groot aantal kaarten aan elkaar
te plakken. Aan de kaart van Eindhoven
maken we kaarten van Nuenen, Geldrop,
en Waalre vast en we gaan hier door
totdat we het hele aardoppervlak bedekt
hebben. Of een andere methode: projec
teer de globe op een mandarijntje, pel
deze vrucht en druk de schil vervolgens
zorgvuldig plat. Ook dan krijgen we een
projectie vrijwel zonder vervorming. In dit
artikel exploreren we wat er gebeurt als
deze naïeve aanpak wordt gevolgd.
Het aan elkaar plakken van kaarten en het
platslaan van een mandarijnenschil kun
nen met één principe worden beschreven.
De ronde globe wordt benaderd door een
myrlaëderEen tetraëder is een regelmatig
viervlak, een dodecaëder is een regelma
tig twaalfvlak, een myriaëder is nu een (al
dan niet regelmatig) veeivlak bestaande
uit een myriade van vlakjes of facetten.
Het Latijnse woord myriadis is afgeleid van
het Griekse woord murioi, wat ontelbaar
of tienduizenden betekent. Met dank aan
Michiel Wijers, die de term myriahedron
voor mij heeft verzonnen. In het Neder
lands zou je een myriaëder een heel veei
vlak kunnen noemen. Vervolgens beslis
sen we voor elke zijde van een vlakje of
het een vouw of een snede is, en vouwen
de myriaëder uit zodat we een uitslag van
het oppervlak van de globe verkrijgen:
een myriahedrale projectie.
De globe is het beste model van het
oppervlak van de aarde, bijvoorbeeld als
het gaat om het beoordelen van de vorm
van continenten en hun relatieve positie.
Maar een globe heeft ook nadelen. Hij is
minder draagbaar dan een kaart en als we
meer detail willen, dan wordt hij al snel
heel groot, vandaar dat het gewenst is om
de globe op een plat vlak te projecteren.
In het boek van John P. Snyder [1993]
wordt een fascinerend overzicht gegeven
van de geschiedenis van kaartprojectie.
Verder geven leerboeken over kartografie
en geografische visualisatie veel infor
matie over kaartprojectie [Robinson e.a.,
1995; Kraak en Ormeling, 2002; Slocum e.a.,
2003] en ook op het web kan veel informa
tie worden gevonden [Furuti, 2009].
Het centrale probleem bij kaartprojectie
is vervorming. Beschouw een kleine cirkel
op de globe. Na projectie transformeert
deze naar een ellips, bekend als deTissot
indicatrix, met diameters a en b. Als voor
aile plaatsen op de kaart geldt dat a=b,
dan worden alle cirkels op de globe ook
als cirkels afgebeeld en worden hoeken
tussen lijnen correct weergegeven. Het
klassieke voorbeeld van een dergelijke
conforme projectie is de Mercator-
projectie. Deze is heel geschikt voor
navigatie, maar laat ook de beperkingen
van conforme projectie zien. Op grotere
schaal treedt sterke vervorming op en
bijvoorbeeld Antarctica wordt vaak zwaar
vervormd weergegeven.
Als overal op de kaart geldt dat ab=C, dan
is sprake van een oppervlaktegetrouwe
projectie. Voorbeelden zijn Lambert's
oppervlaktegetrouwe cylindrische projec
tie en de sinusoïdale projectie. Oppervlak
ken worden correct weergegeven, maar
hoeken worden vervormd. En daardoor
worden vierkanten bijvoorbeeld ruiten of
rechthoeken.
Het probleem is dat bij een dubbelge-
kromd oppervlak, zoals de globe, er geen
projectie bestaat die zowel conform als
oppervlaktegetrouw is. Langs een curve,
zoals de evenaar, kan aan beide eisen
worden voldaan, maar op toenemende
afstand daarvan neemt de vervorming
toe. Daarom moet, afhankelijk van het
doel van de kaart, een keuze worden
26 Geo-lnfo 2010-5
