We bekijken projecties die zowel (vrijwel)
oppervlaktegetrouw als conform zijn, maar die wel
een zeer groot aantal onderbrekingen hebben
Methode
gemaakt voor een van deze eigenschap
pen of een compromis daartussen.
Een ander probleem betreft de globale
structuur van de kaart. Een bol is een
oppervlak zonder rand, terwijl een eindig
plat vlak, zoals een kaart, begrensd moet
zijn. Een kartograaf moet daarom een keuze
maken hoe hij de globe opensnijdt en op
welke kromme deze snede wordt afgebeeld.
Allerlei keuzes zijn mogelijk. Bij azimutale
projecties wordt de globe in een enkel
punt geopend (bijvoorbeeld de zuidpool)
en dit punt wordt geprojecteerd op een
cirkel, wat zeer sterke vervormingen op de
rand geeft. De meest
populaire keuze is om
het oppervlak van de
globe open te snijden
langs een meridiaan,
om vervolgens de
twee randen van deze snede af te beelden
op een ellips, al dan niet afgeplat, of op
een rechthoek. In de laatste twee gevallen
worden de polen afgebeeld op lijnen, wat
weer een sterke vervorming geeft.
Het gebruik van onderbrekingen of sne
des in de kaart vermindert de vervorming.
Voor het maken van globes, waarbij een
platte kaart moet worden vervormd tot
een bol, is minimale vervorming essen
tieel. Er worden daarom duigenkaarten
(gore maps) gebruikt, waarbij de globe
wordt opgedeeld in bijvoorbeeld twaalf
lensvormige segmenten. Goode heeft
in 1923 onderbrekingen gebruikt in zijn
homolosine projectie. Dit is een vlakge-
trouwe afbeelding, waarbij twaalf regio's
zijn samengevoegd tot zes segmenten,
met sneden door de oceanen.
Het projecteren van de globe op een
uitgevouwen veelvlak, in plaats van op
een rechthoek of ellips is een oud idee.
Da Vinei heeft de globe geprojecteerd op
een regelmatig achtvlak, Dürer gebruikte
een regelmatig twaalfvlak. Allerlei ver
schillende veelvlakken zijn daarna
gebruikt. Voorbeelden zijn de vlinderkaart
van Cahill uit 1909 en de Dymaxion Map
van Buckminster Fuller. Deze gebruikte
in 1946 een cuboctaëder en in 1954 een
icosaëder.
In dit artikel verkennen we wat er gebeurt
als er niet 4,8 of 60, maar duizenden facet
ten worden gebruikt. Ofwel, we bekijken
projecties die zowel (vrijwel) oppervlak
getrouw als conform zijn, maar die wel
een zeer groot aantal onderbrekingen
hebben. In het volgende beschrijf ik eerst
een algemene methode voor het maken
van dit soort projecties, gevolgd door een
aantal voorbeelden.
Het algemene principe is simpel. We projec
teren de globe op een al dan niet regelmatig
rooster of graadnet (in het Engels'graticule')
van facetten en we beslissen voor elke rand
of het een vouw of een snede moet zijn.
Tot slot vouwen we het rooster uit totdat we
een vlakke kaart verkrijgen. We nemen aan
dat de facetten van het rooster klein zijn ten
opzichte van de straal van de globe, zodat
oppervlak- en hoekvervorming vrijwel
verwaarloosbaar zijn.
Een belangrijke stap is te beslissen welke
randen van facetten vouwen en welke
randen sneden zijn. Een rooster kan
worden beschouwd als een netwerk,
bestaande uit knooppunten en randen
die de punten verbinden (fig.i). In plaats
van rand kan ook zijde of kant worden
gelezen. In elk knooppunt komt een aan
tal randen samen. Minstens een daarvan
moet een snede zijn, anders kunnen we
het rooster niet platdrukken. Een andere
eis is dat de sneden geen cyclus mogen
vormen. Onze kaart zou dan in twee of
meer stukken uiteen vallen. Als we deze
twee observaties combineren, dan krijgen
we een mooi resultaat. Het patroon van de
sneden dient een zogenaamde opspan
nende boom van het oorspronkelijke net
werk te zijn. Een deel
verzameling van de
randen zodanig dat
alle knooppunten
bereikt worden en er
geen cycli in voorko
men. Na het uitvouwen vormt het patroon
van de sneden een rand die de samenhan
gende kaart omsluit.
Er is nog een derde eis: het toekennen van
sneden dient zodanig te gebeuren dat na
het uitvouwen het platte vlak overal door
hooguit een facet wordt bedekt. Bij het
gebruik van een willekeurige opspan
nende boom voor de sneden zal hier
meestal niet aan worden voldaan, maar in
de praktijk blijkt dat bij de meeste van de
keuzes die verderop worden gemaakt, dit
meestal geen probleem is.
Opspannende bomen zijn een bekend
concept in netwerktheorie. Een praktisch
voorbeeld. Stel, we willen een aantal huizen
op een kabelnetwerk aansluiten. We maken
daartoe eerst een virtueel netwerk met
een groot aantal verbindingen tussen
huizen en vervolgens kiezen we daar een
beperkt aantal uit, waarbij het patroon een
Fig.7 De kaart als uitgevouwen veelvlak, hier een opgedeelde icosaëder: rooster, vouwen en snedes, uitgevouwen.
Geo-lnfo 2010-5 27
