I
I
m
m
dit punt en het midden van de bol met dit
Roosters
cylindrisch
azimutaal
conisch
polyconisch
azimutaal, twee halfronden
opspannende boom vormt. We hebben
dan nog steeds heel veel keuzemogelijk
heden. Maar welke is de beste? Stel nu
dat we van elke virtuele verbinding de
kosten weten, dan is de beste oplossing
degene waarbij de totale kosten minimaal
zijn. Meer algemeen; we kennen aan elke
rand een gewicht toe, en de zogenaamde
minimaal opspannende boom is de boom
waarbij de som van de gewichten van de
gekozen randen minimaal is. Dit probleem
is in de informatica grondig bestudeerd en,
verrassend genoeg, is het vinden van zo'n
minimaal opspannende boom niet moeilijk.
Het algoritme van Prim uit 1957 werkt als
volgt we beginnen met een willekeurig
knooppunt en voegen daar de rand met het
laagste gewicht aan toe die naar een nieuw
knooppunt leidt. Deze laatste stap herhalen
we totdat alle knooppunten bezocht zijn.
Het uiteindelijke patroon van gekozen ran
den is een minimaal opspannende boom.
We kunnen deze ideeën goed gebruiken
voor onze uitvouwkaarten. Stel dat we
een voorkeur willen uitspreken welke
randen gevouwen moeten worden
en welke randen sneden. We kennen
daartoe aan elke rand een gewicht toe;
de vouwvoorkeur. Hoe hoger, hoe groter
onze voorkeur dat de rand een vouw is.
Vervolgens berekenen we zo'n minimaal
opspannende boom. Hierin zitten randen
met een (relatief) lage vouwvoorkeur,
waarbij tegelijkertijd aan de eisen voor
het uitvouwen van kaarten wordt voldaan.
We kunnen zodoende een optimale beslis
sing maken over de randen. Alle randen
in de minimaal opspannende boom zijn
sneden en de overige zijn vouwen.
Het algemene algoritme voor het maken
van een myrihedrale projectie is nu klaar:
genereer een rooster;
ken gewichten toe aan de randen;
bereken een minimaal opspannende
boom, en gebruik deze om te beslissen
over vouwen en sneden;
vouw het rooster uit;
teken het resultaat.
De laatste drie stappen zijn steeds
hetzelfde en relatief eenvoudig. Voor het
projecteren van de kaart op de facetten
gebruiken we een eenvoudige gnomoni-
sche projectie. Een punt op de bol wordt
geprojecteerd op een facet door het
snijpunt te berekenen van een lijn door
facet. Omdat de facetten klein zijn, is de
vervorming beperkt.
De variatie in projecties wordt verkregen
in de eerste twee stappen. Door verschil
lende keuzes voor het rooster en de
gewichten te maken kunnen allerlei ver
schillende projecties worden verkregen.
Het eenvoudigste rooster is natuurlijk een
rooster van meridianen en parallellen.
Door de weging van randen te variëren
over de globe krijgen we projecties die
kunnen worden gebruikt om basisprinci
pes van kaartprojectie te laten zien (fig. 2).
Als we het gewicht w hoog kiezen bij één
i
Fig.2. Myriahedrale projecties op basis van een rooster van meridianen en parallellen.
28 Geo-lnfo 2010-5
