Myriahedrale projecties zi i een nieuwe klasse van
kaartprojecties gebaseerd op het afbeelden van de
globe op een polyëder met heel veel vlakken
7\
Fig.3. Close-up van een opgedeelde icosaëder.
pool en laten afnemen in de richting van
de andere pool krijgen we een azimutale
projectie (met onderbrekingen). Als we
het gewicht hoog kiezen op de evenaar en
laten afnemen in de richting van de polen,
dan krijgen we een duigenkaart. Op een
soortgelijke manier
kunnen ook kegelpro
jecties en azimutale
projecties met twee
halfronden worden
verkregen. De onder
brekingen in de kaart geven hierbij een
indruk van de vervorming die optreedt bij
de bijbehorende versies zonder onder
brekingen. We zien bijvoorbeeld dat het
gebruik van twee halfronden bij azimutale
projecties veel minder vervorming geeft.
Een visueel interessant resultaat wordt
verkregen door het gewicht vanaf een
centrale meridiaan te laten afnemen.
We krijgen dan stroken langs parallellen,
ofwel, de myriahedrale versie van de poly-
conische projectie van Hassler uit 1820.
Een andere keuze voor een rooster is om te
beginnen met regelmatige veelvlakken en
de facetten vervolgens herhaaldelijk op te
delen. Een octaëder bijvoorbeeld bestaat
uit acht driehoeken, een icosaëder heeft
er twintig. Deze driehoeken kunnen we
elk opdelen in vier kleinere driehoeken en
dit kunnen we een aantal malen herha
len. In figuur 1 is een icosaëder gebruikt.
Een dergelijk schema wordt onder andere
gebruikt voor geospatiële data [Dutton,
1996]. Door de gewichten van de randen
secuur te kiezen, kunnen we forceren dat
oorspronkelijke driehoeken zoveel mogelijk
behouden blijven en de onderbrekingen
geven vervolgens een fractaal patroon.
Dit wordt goed zichtbaar als we de rand
expliciet tekenen. Als we dat niet doen, dan
blijkt dat op diepere niveaus de onderbre
kingen al snel heel smal worden. Het aard
oppervlak wordt relatief gezien steeds
platter. Als we een stukje van de kaart
uitvergroten, dan krijgen we een indruk van
de vervorming die bijvoorbeeld optreedt bij
het afbeelden van Europa (fig. 3).
Bij de voorgaande oplossingen wordt geen
rekening gehouden met de inhoud van de
kaart zelf. Het ligt voor de hand om dit wel
te doen, en er bijvoorbeeld naar te streven
dat bij het opensnijden van de globe de
continenten zoveel mogelijk worden ont
zien. Hiertoe definiëren we eerst voor elk
punt op de globe een gewicht w, dat een
maat is voor de hoeveelheid landmassa in
de omgeving van dit punt. In het hart van
continenten is deze waarde hoog, in het
midden van oceanen laag. Deze functie
wgebruiken we om het rooster te gene
reren en als gewicht om te beslissen over
vouwen en sneden.
De waarden voor w bepalen we als volgt.
We beginnen met een zwart/wit kaart van
de wereld, waarbij zwart bijvoorbeeld gelijk
is aan o is en wit gelijk is aan 1. Vervolgens
nemen we per punt een gewogen gemid
delde van de naburige waarden, ofwel,
we convolueren
meteen Gaussisch
filter waarbij rekening
wordt gehouden met
de kromming van de
globe. Dit levert een
beeld op waarin de continenten zijn terug
te vinden als wazige vlekken (fig. 4).
Het rooster wordt gegenereerd door
twee verzamelingen lijnen te genereren:
contourlijnen van dit beeld en lijnen die
hier loodrecht opstaan. Combinatie van
deze twee sets lijnen, gevolgd door een
opschoonslag, levert een opdeling van het
oppervlak in facetten. We willen over de
globe een min of meer uniforme dichtheid
van dit rooster. Dit realiseren we door voor
het genereren van de lijnen gebruik te
maken van een techniek voor het gene
reren van stroomlijnen met een uniforme
dichtheid [Jobard and Lefer, 1997]-
Fig.4. Opdeling op basis van continenten: globe, gewichtsfunctie w, rooster, snedes.
Geo-lnfo 2010-5 29
