/Vfr°c'
V'
i
Landmeetkunde
V b2
ci
i e<?
Ci
y 0
Ai
A2 o<-''
-
X
A
8?
C 8
A 9
x
i
C
A 3
B
C 3
A x
B O
42 Geo-lnfo 2020-3
pelijk bedrijf. Het was aanleiding in mijn
promotieonderzoek de methoden op een rij
te zetten en conclusies te trékken. Daaruit en
uit fundamentele beschouwingefi over het
probleem volgde een nieuwe methode,
die hier wordt toegelicht. Eerst wordtde
gebruikelijke methode geïllustreerd met
egh eenvoudig voorbeeld. Daarna wordt
■de fundamenteel andere aanpak van de-:
nieuwe methode besproken aan de hand van
hetzelfde voorbeeld.
Eenvoudig voorbeeld
Het eenvoudige voorbeeld bestaat uit drie
hoogtebouten waartussen de onderlinge
„O
Afbeelding 2 - Drie hoogteverschillen, twee epochen.
hoogteverschillen zijn gemeten als: nulmeting.
In een latere epoche worden de drie hoogte
verschillen nogmaals gemeten (afbeelding 2).
Gebruikelijke methode
vergelijking van hoogten
De drie hoogtemetingen worden in beide
epochen vereffend en de hoogten van B
en C worden berekend ten Opzichte van A.
Dan worden de hoogteverschillen in Sen C
tussen nul-en herhalingsmeting bepaald.
Hét resultaat is in afbeelding 3 weergegeven.
1
1
Afbeelding 3 - Punten in horizontaal vlak, gestip
pelde lijnen zijn hoogteverschillen, overdreven
groot weergegeven. Epoche r. cirkeltjes, epoche 2:
kruisjes. Rekenbasis is A.
Iri plaats van A kan evengoed Cals rekenbasis-
worden genomen, zie afbeelding 4. Het pro
bleem wordt nu duidelijk: afbeelding 3 en 4
zijn op precies dezelfde metingen gebaseerd.
Toch geven ze een ander beeld van de defor
maties en is moeilijk te bepalen welk punt aan
deformatie onderhevig is en hoe groot de
deformatie is.
1
1
1
Afbeelding 4 - Punten in horizontaal vlak, gestip
pelde lijnen zijn hoogteverschillen, overdreven
groot weergegeven. Epoche 1: cirkeltjes, epoche 2:
kruisjes. Rekenbasis is C.
Pelzeren zijn navolgers houden rekening
met de covariantiematrices van de hoogten
en kunnen daarmee toetsingsgrootheden
voor de individuele punten afleiden die
voor afbeelding 3 en afbeelding 4 dezelfde
waarden hebben.
Nieuwe methode
Voor de nieuwe methode worden de
coördinaten van de nulmeting en de herha
lingsmeting samengevoegd in een gecom
bineerde vereffening. Het model voor deze
vereffening stelt dat er geen deformatie is. Uit
de vereffening moet daarom komen, dat/4, 6
en Cdezelfde vereffende vyggrden voor beide
epochen hebben. Dit wordtgeïllustreerd
met afbeelding 5. Het vereffeningsmodel kan
worden getoetst met een algemene toets van
het model. Als deze wordt verworpen is er
waarschijn lijteen deformatie.
Afbeelding 5- Na vereffening zonder deformatie.
Legenda als in afbeelding 3 en 4.
De zoektocht naar de deformatie kan begin
nen met bijvoorbeeld de hypothese dat punt
B is gezakt of gestegen, zie afbeelding 6.
Deze hypothese wordt in het vereffeningsmo
del ingebracht en statistisch getoetst. Zo kun
nen ook punt A of punt Cof A en Csamen
in het model worden opgenomen als van
positie veranderde punten. Dat model wordt
getoetst. Zo worden verschillende hypothesen
getoetst en op basis van een infcsrmatiecrite-
rium wordt bepaald welke hypothese de beste
is. Daarna wordt het vereffeningsmodel aan de
beste hypothese aangepast. De vereffening
Igverteen kleinste-kwadratgnschatting van de
deformatie.
Afbeelding 6 - Heeft punt B zich bewogen1
Legenda als in afbeelding 3 en 4.
Geen stabiele punten nodig
Met deze methode worden de deformaties
niet bepaald ten apzichteyran een rekenbasis,
maar ten opzichte van de andere punten
van het puntenveld. Dat betekent, dat er wel
een rekenbasis moet worden gekozen (om
hoogten te berekenen), maar dat slechts de
hoogte van een punt in een epoche hoeft te
worden gefixeerd. De hoogte van het punt in
andere epochen blijft 'vrij'. Daardoor kunnen
de deformaties van het basispunt wórden
geschat, zoals de deformaties van de andere
punten worden geschat. Bovendien hoeft het
basispunt geen stabiel puntte zijn!
Minimale detecteerbare deformaties
en normering
Omdat een kleinste-kwadratenvereffening
wordt uitgevoerd, kan het toetsen op deforma
ties plaatsvinden via de gebruikelijke formules.
Daaruit volgt, dat ook grenswaarden kunnen
worden berekend. Een grenswaarde is de fout
in een waarneming die meteen zekere kans
(vaak 80% gekozen) gevonden kan worden met
een conventionele eendimensionale toets. In
de context van een deformatieanalyse beschrijft
een grenswaarde van een punt in een epochen-
interval de minimale detecteerbare deformatie.
Het begrip 'grenswaarde van een punt in
een epocheninterval' vergt een toelichting.
In het vereffeningsmodel wordt het feit, dat
