odesie
1
2
4
2020-4 I Geo-Info 41
Hoe werkt het stochastische karakter
van de metingen door op de berekende
coördinaten?
Hoe kun je voorkomen dat er niet-stochas-
tische afwijkingen in de meetresultaten
(meetfouten) optreden?
Hoe kun je schatten welke orde van
grootte van meetfouten eventueel onont
dekt blijven? En hoe zouden die doorwer
ken in de berekende coördinaten?
Hoe kun je een meetopzet ontwerpen
zodat de effecten van 2, 3 en 4 binnen
aanvaardbare grenzen blijven?
De eerste vraag wekte al langere tijd de
belangstelling van geodeten, maar ook van
astronomen, wiskundigen en statistici. In de
negentiende eeuw werden elegante oplossin
gen gevonden door bekende wetenschappers
zoals Gauss, Legendre en Laplace. Zij kwamen
tot een oplossing die we nu kennen als de
vereffening volgens de 'Methode der Kleinste
Kwadraten'. Deze methode geeft een oplos
sing waarbij de som van de kwadraten van de
aan de waarnemingen toegekende correc
ties minimaal is. Later werd deze methode
gemodificeerd zodat er bij het toekennen van
correcties rekening kon worden gehouden
met de nauwkeurigheid van de waarnemin
gen. Deze werd uitgedrukt in de standaardaf
wijking of het kwadraat daarvan, de variantie.
Tienstra heeft zich in zijn tijd (rond 1930-1950)
vooral beziggehouden met het onderzoek
naar de grondslagen van deze methode.
Hij ontwikkelde algoritmes, die goed aan
sloten bij de werkwijze van landmeters en
geodeten. Deze werkwijze werd gekenmerkt
door het feit dat grote meetprojecten vaak in
meerdere fasen werden gemeten. Zijn werk
is beschreven in het postuum uitgegeven
(Tienstra 1956). Hij liet daarbij ook zien hoe het
stochastisch karakter van de waarnemingen
doorwerkte op de berekende coördinaten.
Figuur 2 -Standaardellips voor een nieuw bere
kend punt.
Laten we een eenvoudig voorbeeld nemen als
in figuur 2. Stel dat de punten 1 en 2 in coördina
ten bekend zijn en laten we ook aannemen dat
die foutloos zijn. Als nu in de driehoek vol
doende hoeken en afstanden worden gemeten,
kunnen de coördinaten van punt 3 bepaald
worden. De onzekerheid van die coördinaten
wordt beschreven door hun varianties en
co-varianties, berekend uit de varianties van de
waarnemingen. Daaruit worden dan de grootte
en oriëntatie berekend van een ellips, die
gecentreerd is op het nieuwe punt. Deze wordt
standaardellips genoemd.
Dit is uiteraard een simpel voorbeeld. Bij uitge
breidere netwerken kan dan de nauwkeurigheid
van de coördinaten van alle punten berekend
worden, met de daaruit afgeleide standaardel
lipsen. Evenzo kan de nauwkeurigheid bepaald
worden van coördinaatverschillen tussen punten
en ook daaruit kunnen 'relatieve' standaardel
lipsen bepaald worden. Dit is gedaan in figuur 3
(vol getrokken ellipsen). Het netwerk is doorgere
kend vanuit de punten 17 en 21. Het totale plaatje
geeft een indruk hoe goed het netwerk geme
ten is en wat de kwaliteit is van de coördinaten
en van de coördinaatverschillen en dus van de
ligging en relatieve ligging van de punten.
Pol nis
Dirteliwi
Stanford fl'Hpsf V
'Stondord eJlipst, from orliiicial Hbrariancfe inalrin. Seol»
P m is* HO» NkH
lihf.hNliliMihl LLLÜ-LLLLl
tij «I kg VC IQj» c<iri;|m*tri|
r iBllElJJli 1,1 li i 1111 II l i hlLI1II
Figuur3 - Netwerk met standaardellipsen en criteriumcirkels (Baarda 1973).
