42
-ï.V
Geo-Info I 2020-4
S-Stelsels en criteriummatrices
Wat opvalt in figuur 3 is dat de standaardellip
sen groter worden naarmate de punten verder
weg liggen van de rekenbasis. Deze ellipsen zijn
blijkbaar niet alleen afhankelijk van de kwaliteit
van de metingen, maar ook van hun positie ten
opzichte van de rekenbasis. Bij een kwaliteits
beoordeling moet men hier rekening mee
houden. Baarda was zich daarvan bewust en
formuleerde een methodiek voor de kwaliteits
beoordeling die dat deed [2]. Dat ging als volgt.
Als de coördinaten van een punt berekend wor
den, krijgt men daarbij als maat voor de nauwkeu
righeid de varianties en covarianties. Dat zijn voor
twee coördinaten vier grootheden. Hiermee
kan men een 2x2 matrix o opstellen met de
varianties op de diagonaal en de co-varianties
naast de diagonaal. Bij twee nieuwe punten krijgt
men zo een 4x4 matrix en voor n punten een
2nx2n matrix. Uit deze gegevens worden dus de
standaardellipsen en relatieve standaardellipsen
berekend.
Baarda kwam nu, samen met zijn medewerker
Jouke Alberda, op het idee om een kunstmatige
matrix H op te stellen die cirkels in plaats van
ellipsen genereerde, zie de gestippelde cirkels
in figuur 3. De grootte van deze cirkels kan met
één of twee parameters worden ingesteld en
daarmee kan men een bovengrens instellen
zodat de berekende ellipsen niet door deze
cirkels heen steken. Hij koos voor cirkels omdat
er dan voor de kwaliteit van de coördinaten
geen voorkeursrichting is. Voorwaarde is wel
dat de beide matrices ten opzichte van dezelfde
rekenbasis berekend worden. Dus de keuze van
die basis moest expliciet gemaakt worden; Baarda
noemde dat een Schrankingsbasis of kortweg
S-basis. Hij formuleerde ook een transformatie, de
S-transformatie. De coördinaten kunnen daarmee
naar een andere basis omgerekend worden, zon
der dat de netwerkberekening overgedaan hoeft
te worden. Met die S-transformatie kan men ook
beide matrices omrekenen.
De visuele benadering in figuur 3 heeft beper
kingen, zeker bij grote netwerken. Bovendien
bevatten de matrices meer informatie dan door
deze figuren wordt weergegeven. De eis die in
bijvoorbeeld figuur 3 wordt gesteld, is dat de
kwaliteit van de coördinaten altijd beter is dan
het met H aangegeven criterium. Maar een alge
menere eis is dat voor iedere functie F van de
coördinaten (zoals afstanden en oppervlaktes)
geldt dat oFF HFF Als beide matrices omgezet
worden naar een andere S-basis, mag dat geen
effect hebben op deze ongelijkheid. Dus voor
het toetsen van de kwaliteit van de berekende
coördinaten maakt het dan niet uit vanuit welke
S-basis die berekend is. Dat wil zeggen dat de
vergelijking van o met H alleen beïnvloed
->■>-> x,y x,y
wordt door de structuur van het netwerk en de
kwaliteit van de waarnemingen.
73
es-
Figuur 4 - De inwendige betrouwbaarheid van een netwerk, grenswaarden van waarnemingen
(Baarda 1973).
Baarda toonde aan dat bovenstaande
het geval is wanneer de twee matrices
li aan de volgende voorwaarde voldoen:
vergelijk de twee matrices via het gege
neraliseerde eigenwaarde probleem:
|ox,y - X Hx,y| o. Uit de oplossing van
die vergelijking voor n punten volgen
2n waarden voor de zogenoemde
eigenwaarden X. De laagste waarde is
altijd Xmin o Voor de hoogste waarde
wordt geëist dat Xmax 1. Als beide
matrices naar een andere S-Basis wor
den omgezet, dan heeft dat geen effect
op de gevonden waarden voor X.
Toetsen op meetfouten:
de betrouwbaarheid van metingen
De co-variantiematrix van de coördinaten
beschreef één aspect van de kwaliteit van de
meetresultaten. Baarda noemde dat de precisie
van de metingen en coördinaten. Een ander
belangrijk aspect was het al dan niet voorko
men van onontdekte meetfouten en hun effect
op de berekende coördinaten. Daarvoor werd
de term betrouwbaarheid gebruikt.
Uitgangspunt is dat als bij een meting
overtallige waarnemingen worden gedaan, de
verwerking met een Kleinste Kwadraten Veref
fening kleine correcties geeft met waarden
om en nabij 0 in het geval er geen echte
meetfouten zijn gemaakt. Als de correcties
aanzienlijk van nul afwijken, kan dat wijzen
op fouten. Door de natuurlijke spreiding van
waarnemingsuitkomsten, uitgedrukt in hun
standaardafwijking o of variantie, kan het
ook wel eens gebeuren dat er toch een wat
grotere afwijking optreedt. Daarom werd er
een toets geformuleerd zodat de kans hierop
klein is, meestal gesteld op ao 0.001 (0.1%).
Het is interessant om te weten hoe gevoe
lig zo'n toets is. Stel dat er een fout wordt
gemaakt in een waarneming, dat betekent dat
de gemiddelde waarde verschuift, zeg met
een waarde V, de nabla grootheid. Dan zullen
de waarnemingsuitkomsten met dezelfde
standaardafwijking o om deze nieuwe waarde
verspreid zijn.
De vraag is hoe groot V moet zijn om met een
zekere kans p gevonden te worden. Deze kans
werd om praktische redenen op p 0.80 (80%)
gesteld. Met deze waarden voor a0 en p kunnen
dan de waarden V voor alle waarnemingen
berekend worden, deze werden grenswaarden
genoemd. De combinatie van de waarden voor
a en p met de berekende waarden voor V
werd de 'inwendige betrouwbaarheid' van het
netwerk genoemd, zie figuur 4. Het effect op de
coördinaten als de fouten niet ontdekt worden,
werd de uitwendige betrouwbaarheid genoemd.
Een kringnet werd zo gemeten dat vanuit
een S-basis de coördinaten van alle andere
punten berekend konden worden. Met de
hierboven beschreven methodiek konden alle
waarnemingen worden getoetst. Als eventuele
meetfouten dan zijn opgespoord en hersteld,
weet je dat de metingen daarna in orde zijn; zij
bevatten geen fouten meer.
Voor aansluiting van nieuwe metingen op
RD-coördinaten waren minimaal twee bekende
RD-punten nodig. Als deze als S-basis werden
gekozen, waren er meestal naast deze twee
punten ook andere punten van het net bekend
in RD-coördinaten. Door de nieuw berekende
coördinaten met de gegeven RD-coördinaten
te vergelijken, spoorde men eventuele tegen-
