Mijn manier om alleen naar de slechtste punten te
kijken leidde toevallig tot een heel bruikbare centrale
meridiaan en kaartrand
Over Rein boud
6
2021-2 Geo-lnfo
7
lengte kan als centrale verticale lijn gekozen
worden zonder dat de kaart verder verandert.
Bij niet-rechthoekige kaarten daarentegen
moetje kiezen wat er in het centrum komt
en omdat het centrum meestal niet of weinig
vervormd is, komtzo'n keus neer op het
bevoordelen van de centrale regionen. Ik zal
zo meteen uitleggen hoe ik deze keuze heb
kunnen omzeilen.
Enkele vaak gemaakte keuzes heb ik wel
gemaakt: de aardpolen zijn ook de kaartpolen
(je zou de kaartpool ook in Hawaii kunnen
leggen),noord is boven enhetmoeteen
continue kaart zijn. Niet-continue kaarten
bestaan uiteen aantal losse delen, of de kaart
is op bepaalde plaatsen ingeknipt. Op die
manier worden vervormingen verkleind, maar
de samenhang gaat verloren.
Na alle voorgaande overwegingen kwam ik
uit bij de Hammerprojectie en diens nazaten.
Deze projecties hebben kromme parallellen
en kromme meridianen, waarbij de krommen
geen cirkels of ellipsen moeten zijn.
Dubbele projecties
Aitoff publiceerde in 1889 een niet-vlakware
kaart die in twee stappen tot stand kwam,
Hammer nam dat idee over voor een vlakware
kaart (1892). De eerste stap is dat de aardbol
opdehelftvaneenquaoppervlak twe erna al
zo grote bol wordt geprojecteerd, terwijl in de
tweede stap deze tussenbol met een gewone
projectie naar een plat vlak wordt geprojec
teerd. Deze kaart heefteen sterk vervormd
centrum, wat gecorrigeerd wordt door de
kaart horizontaal uit te rekken en verticaal
in te deuken. Het resultaat is een elliptische
kaart die iedereen weieens onder ogen heeft
gehad, want veel kaarten van het heelal
gebruiken deze Hammerprojectie.
In 1941 maakte Wagner een versie met de pool
niet als punt, maar als lijn. Hij brachthetals
een rekenkundig proces, maar het kan ook
als een dubbele projectie gezien worden, via
een tussenbol dus. Het is een heel flexibele
methode, want de tussenbol kan allerlei
afmetingen hebben en de aardbol kan op
een kleiner of groter deel daarvan afgebeeld
worden. Voor de tweede stap is wat Hammer
deed het beste, hij gebruikte Lamberts vlak
ware azimuthale projectie uit 1772. (Azimuthaal
betekent dat het projectievlak geen cilinder of
kegel is maar een plat vlak dat ergens aan de
tussenbol raakt.)
Vijf parameters, asymmetrie
Vanaf het begin was ik van plan om een asym
metrische kaart te maken. Mijn redenering
was: ik kijk alleen naar de bewoonde conti
nenten, Antarctica telt dan niet mee. Omdat
er veel meer land op het noordelijk halfrond
dan op het zuidelijk halfrond ligt, mag de kaart
meebuigen in de richting van hetnoorden,
wat hopelijk tot minder vervorming leidt.
Vijf parameters blijken nodig te zijn in de
formules voor alle mogelijke projecties van de
Hammerfamilie. Twee parameters gebruikte
Hammer al, Wagner voegde een derde toe.
Asymmetrie kan op een manier die Pécsi in
1966 voor een deel van de wereld gebruikte,
door het projectievlak niet aan de evenaar van
de tussenbol te laten raken maar noordelijker.
Ik bedacht dat er een tweede manier is om
asymmetrie in te voeren, op de tussenbol
al. Je projecteert de aarde op een deel van
de tussenbol, waarbij de aardevenaar op de
evenaar van de tussenbol ligt. Vervolgens kan
je dit 'lapje' langs de meridianen noordwaarts
opschuiven,zodat de aardevenaar hoger
dan de evenaar van de tussenbol komt te
liggen. Dit moet oppervlaktewaar gebeuren,
uiteraard. Mijn extra, vijfde parameter was het
enige stukje wiskunde dat ik in de formules
moest inbouwen, alle andere formules komen
uit de literatuur. Uiteindelijk ontstond zo een
set formules die met mijn hbs-b-wiskunde al
te hanteren was. Wat ik er na het eindexamen
van 1969 nog bij heb geleerd, niet zo heel veel,
was niet eens nodig.
Kwaliteit meten
Wagner kwam via fingerspitzengefühl totzijn
kaart, een esthetisch oordeel eigenlijk. Je kunt
ook de vervorming in een getal uitdrukken
en dan kijken of er varianten van de kaartzijn
met een betere uitkomst. Een veelgebruikte
methode is de kleinste-kwadratenmethode: je
berekent voor heel veel punten de vervorming
en sommeert de kwadraten daarvan. Je zoekt
vervolgens die waarden van de kaartparame-
ters waarbij die som zo klein mogelijk is. Door
kwadraten te nemen, leggen sterk afwijkende
waarden extra gewicht in de schaal, maar ik
dacht: waarom niet derdemachten of vierde-
machten? Kwadraten nemen is eigenlijk een
arbitraire keuze. Zo kwam ik tot het idee om
helemaal niet te sommeren, om niet naar veel
punten te kijken, maar alleen naar de slechtst
afgebeelde punten op de continenten, de
vervorming daarvan neem ik als maat voor de
kwaliteit van een bepaalde kaart. (Wat ik hier
niet verder toelicht: ik heb een nieuwe manier
bedacht om de ellipsvorm van de aarde in de
berekeningen mee te nemen, die in dit project
prima werkte.)
Vervorming wordtin de literatuur op verschil
lende manieren uitgedrukt, maar bij een
oppervlakteware kaart maakt het niet uitwat
je kiest, want alles is eenvoudig in elkaar uit
te drukken. Figuun illustreert hoe een cirkel
op de aarde een ellips in de projectie wordt
en waar de maximale hoekvervorming zit: dat
is het punt op de cirkel dat in de projectie in
het snijpunt van cirkel en ellips terechtkomt
(bij niet-vlakware projecties geldtditniet). De
platte ellips in de afbeelding hoort bij de Wag
ner VII (figuur 2), de projectie die mijn favoriet
was voordat ik aan dit project begon. Zo'n
sterk afgeplatte ellips had ik niet verwacht.
Welk centrum en welke randen
Nu komt een interessant punt. Door alleen
naar het land te kijken en daarop alleen naar
de slechtst afgebeelde punten, was het
logisch om te beginnen met de compactste
groepering van de continenten. Dat blijkt een
cirkel te zijn waarvan het middelpunt in Gabon
ligt (figuur 3). Als daar de centrale meridiaan
van de kaart wordt gelegd, dan valt dat toeval
lig ongeveer samen met kaarten waarop Afrika
en Europa centraal gelegd zijn. Nog toevalliger
is dati8o graden westelijker de internationale
da turn grens loopt, althans waar die tussen
Siberië en Alaska door gaat. Heel precies: ik
Wei a Rein boud (1950) heeft kort sterrenkunde gestudeerd en langere tijd sociolo
gie, maar heeft ook korte opleidingen gevolgd op het gebied van letterontwerpen,
componeren, biomechanica en precisiebankwerken, Kartografie is een van haar
vele hobby's, net als muziek, atletiek en veldbiologie (libellen en motmuggen in
het bijzonder). Ze heeft een kleine uitgeverij in Utrecht en heeft daar onder andere
gepubliceerd over filosofisch scepticisme. Ze publiceerde over haar Cu pol a-projectie
in maart 2021 in het prestigieuze International Journal of Cartography, Haar artikel is
te vinden via: bit.ly/weiareinboud, Op haar website zijn alle afbeeldingen plus andere
projecties te vinden: www.at-a-lanta.nl/weia/cupola.html.
In de NRC van zaterdag 1 mei is een interview metWeia te lezen over haar
kaartprojectie: bit.ly/weiareinboudnrc.
Geo-lnfo 2021-2
heb als kaartrand -168°58'37" gekozen (min
betekentwesterlengte), daar waar de datum-
grens tussen twee Siberische en Amerikaanse
eilandjes door loopt. De kaartrand doorsnijdt
St. Lawrence Island, er blijkt geen enkele meri
diaan te zijn die alleen door zee en Antarctica
gaat. Traditioneel, omdat het gemakkelijker
te tekenen viel, werd vaak een randmeridiaan
genomen die Siberië of Alaska doorsnijdt. Mijn
manier om alleen naar de slechtste punten te
kijken leidde toevallig tot een heel bruikbare
centrale meridiaan en kaartrand.
Numerieke oplossing: de Cupola
Dertig jaar geleden heb ik op een Atari-
computer in C++ aan deze projectie zitten
rekenen, wat wel tot een resultaat leidde,
maar ook tot het inzicht dat de Atari het niet
aankon. Naar de randen van de kaart was er
sprake van 'dramatic loss of significance'. Een
jaar ofvijf geleden ben ik opnieuw begonnen
op een duizend keer snellere computer en
met als programmeertaal Matlab. De wiskunde
is niet heel moeilijk, maar wel zijn het tamelijk
'vieze' vergelijkingen die ik alleen numeriek
kon oplossen.
Als geen van de parameters actiefis, is er één
slechtste punt, bij één actieve parameter zijn
er twee slechtste punten, en zo verder, onge
veer. 'Ongeveer', want door de onregelmatige
vormen van de continenten stokte het bij vier
even slechte slechtste punten.
De punten die ik doorrekende vormen een
onregelmatige omgeschreven veelhoek om
de continenten heen. Slechts 89 punten
aan de randen van de continenten waren
kandidaat slechtste punt, alle andere punten
op de continentranden liggen dichter bij het
centrum en zullen dus minder vervormd zijn.
Met één actieve parameter laateen tweedi
mensionale grafiek eenvoudig zien wat de
beste kaart is, met twee actieve parameters
waren de driedimensionale grafieken van
Matlab een uitkomst. Daar begon het gedon
der echter al: er bleken valse oplossingen te
zijn,zogeheten lokale maxima, terwijl ik het
algehele maximum zocht.
Vijf parameters vereisen een zesdimensionale
grafiek... Het werd dus tasten, zomaar ergens
beginnen, naar een maximum bewegen en
dan gaan uitzoeken of dat een lokaal of glo
baal maximum was. De computer heeft veel
uren staan rekenen, terwijl ik met iets anders
bezig was. Het zoeken heb ik niet helemaal
geautomatiseerd. Ik wee t ook niet of ik een
efficiënte zoekmethode had kunnen program
meren, de parameters werken namelijk niet
geheel onafhankelijk.
De naam 'Cupola' slaatuiteraard op de gelijkenis
van de kaart met een koepel, in het bijzonder die
van het Pantheon in Rome (zie figuur 4).
Gekleurde stippen
Er zijn allerlei manieren om te laten zien hoe
vervormd een kaart is. Ik heb ervoor gekozen
om de mate van vervorming met een kleur
weer te geven: rood staat voor onvervormd,
blauw voor supervervormd. Er staan op de
kaart een kleine drieduizend stippen, die
langs de parallellen liggen en elke stip staat
voor een oppervlak van precies vier vierkante
graden. De best afgebeelde locaties zijn Zuid-
Afrika en Midden-Groenland. Iemand die een
bepaalde regio zou willen bevoordelen zou
iets anders bedacht hebben.
Conclusies
De keus voor asymmetrie heeft heel goed
uitgepakt. In getalletjes, waarbij 1 staatvoor
onvervormd en een lager getal voor een
lagere kwaliteit: de compactste groepering
van de continenten (figuur b) heeft een kwali
teit van 0.4141, Wagner VII (figuur 2) had maar
0.2648, de asymmetrie volgens Pécsi (niet
afgebeeld) levert een forse verbetering tot
0.6429, maar met mijn asymmetrie erbij wordt
het 0.6803 (figuur 4). Dat getal is de halve korte
as van de ellips in figuur 1.
In woorden: als alleen naar het land gekeken
wordt en als op voorhand geen enkele regio
bevoordeeld wordt, dan is de Cupola voor
zover ik kan zien de best mogelijke vlakware
projectie. Ikzie dan ook graag datze gebruikt
gaat worden voor allerlei thematische wereld
kaarten. De verspreiding van ijsberen zal er
goed op uitkomen, maar voor de verspreiding
van pinguïns zou ik een apart kaartje van de
Zuidpool toevoegen.
Literatuur
- Canters F. en Decleir H. (1989). The world in perspective - a
directory of word map projections. John Wiley a rd Sons.
- Snyder, J.R (1987). Map projections - a working manual (U.S.
Geological Survey Professional Paper 1395). https://pubs.usgs.
gov/pp/139 s/repo rt .pdf.
- Snyder, J R (1989). An album of map projections (U.S.
Geological Survey Professional Paper 1453). https//pubs.usgs.
gcv/pp/1453/report.pdf
-Vening Meinesz, F. A. (1950 tweede druk). Kort overzicht der
kartcgrafe. R Noord hoff
Figuur 5. Groenland (boven) en Nieuw-Zeeland (onder). Van links naar rechts: globe, Wagner en
Cupola (bron: Weia Reinboud).
Weia Reinboud is hobby-
kartograaf. Ze is bereikbaar
via weia@xmsnet.nl.
