verhandelingen, zoals b.v. Joh. Werner (1466-
1528), Johan Stab (1522). Van hen stammen de
gewijzigde kegelprojekties voor de afbeelding
van de gehele wereld, de z.g. hartvormige
projekties waarvan Bonne (1727-1795) de wis-
kundige theorie opstelde.
In 1511 leverde Erhard Etzlaub reeds zijn
graadnet met wassende breedtegraden (con-
formiteit) voor Europa, waarop Gerard
Mercator in 1569 zijn wereldkaart met wassende
breedtegraden baseerde, waarvoor de theorie
echter pas in 1599 door de Engelsman Edward
Wright opgesteld werd. Behalve de thans nog
algemeen gebruikte Bonne- en Mercatorprojektie
vindt ook de transversale cilinderprojektie die
b.v. voor de nationale kartografie van Oostenrijk
en Tsjecho-Slowakije toegepast wordt, zijn
oorsprong in vroeger eeuwen. Het is het ont-
werp van de Franse astronoom Cassini de
Thury (1714-1784).
In de 18de en 19de eeuw worden de theorieen
van de afbeelding van een gekromd oppervlak
op een ander vlak grondig bestudeerd en men
analyseert de vervormingen die daarbij optreden.
Transformatieformules ontstaan voor de bereke-
ning van x en y uit <f> en A. De Elzasser wiskun-
dige J. H. Lambert (1728-1777) ontwerpt een
aantal nieuwe, mathematisch exact afgeleide
afbeeldingsmethoden. Anderen Euler, Lagran
ge, Gauss leveren de exacte grondslagen voor
de theorie van de conforme afbeelding die voor
de geodetische kartografie zo belangrijk is.
Van bijzondere betekenis is het ontwerp van
C. F. Gauss voor de afbeelding van de ellipsoi'de
op de bol en voor de conforme transversale
cilinderprojektie (Transversale Mercatorprojek
tie). Tot een van de grootste theoretici moet
A. Tissot gerekend worden. Als eerste bewerkte
hij in 1881 systematisch de vervormingswetten 10
en ontwikkelde de formules voor de indicatrix,
waarmee ook heden ten dage de eigenschappen
van afbeeldingen geanalyseerd kunnen worden.
Het werk van Tissot is door de Duitse wiskun-
dige E. Hammer in 1887 vertaald.
In tegenstelling tot andere werken over kaart-
projekties geeft het boek van Tissot geen tabellen
of formules voor de konstruktie van graadnetten,
maar wel een groot aantal tabellen voor de
waarden van a, b, s, en 2 w, de dementen van zijn
indicatrix.
Voor de wiskundigen bestaat heden ten dage
geen aanleiding meer om de theorie van de
afbeeldingsleer opnieuw of anders op te zetten.
Alles wat erover getheoretiseerd kan worden is
al gepubliceerd. Dat wil echter niet zeggen dat
er geen nieuwe afbeeldingsmethoden meer ont-
worpen kunnen worden, hoewel het moeilijk
zal vallen iets te brengen dat nog niet eerder
bedacht werd.
Praktische toepassingen
Voor degenen die graadnetten wensen te tekenen,
bestaan de volgende hulpmiddelen
Formules. Wanneer het toegestaan is om de
ellipsoi'de door de bol te vervangen worden de
formules zeer eenvoudig. Tobler geeft voor een
twintigtal afbeeldingsmethoden deze formules
waarmee x en y of r en 9 uit <f>, A, <^0A0 berekend
kunnen worden (zie boven).
Tabellen. Uit de formules welke voor de bol
of voor de ellipsoi'de opgesteld zijn, werden
in diverse handboeken tabellen samengesteld
waarmee de snijpunten van meridianen en
parallellen in x en y coördinaten gekonstrueerd
kunnen worden. Het interval tussen de meri
dianen en parallellen is in de diverse tabellen
zeer verschillend. Meestal kunnen we van een
groot assortiment projekties voor geografische
kaarten de intervallen om de 5 of 10 graden
vinden. Er bestaan ook tabellen, bestemd voor
de geödeten, waarin intervallen van 1 graad
worden gegeven (b.v. voor de Universal Trans
verse Mercator projektie). Het spreekt vanzelf
dat in de meeste landen tabellen van grote
dichtheid ontworpen zijn voor de konstruktie
van het graadnet van de nationale projektie,
gebaseerd op een der ellipsoi'den die gangbaar
waren of zijn. Een nuttig boekje voor degenen
die uit tabellen wereldkaarten of kaarten van
grote gebieden konstrueren willen is de Special
Publication no. 68 van de U.S. Coast and Geo-
detic Survey waarin de Studie van Deetz
Adams, Elements of map projection. Daarnaast
bestaan vele werken waarin tabellen voor-
komen die door de geograaf gebruikt kunnen
worden n.
Konstrukties. Uitsluitend voor de bol laten zieh
verscheidene afbeeldingen zeer goed met passer
en lineaal konstrueren zonder gebruik te maken
van tabellen of formules. Er moet in zulke
gevallen een meetkundig verband tussen de bol
en het kaartvlak bestaan. Deze methode heeft
echter om die reden slechts beperkte toepassings-
mogelijkheden. In het aardige boekje G. Schef
fer K. Strubecher12 vindt men een aantal
voorbeelden van deze werkwijze.
Programmd's voor reken- en tekenautomaten.
Sedert ca 1960 zijn er op verschillende karto-
grafische instituten programma's voor het bere-
kenen en/of tekenen van graadnetten gemaakt.
68
K.N.A.G. Geografisch Tijdschrift VII (1973) Nr. I
