eigenschappen weg te retoucheren is thans onder-
zoek aangevangen.
Wiskundige beschrijving van de
generali satie
De Oostduitser Töpfer heeft bekendheid gekregen (12)
doordat hij had nageteld hoeveel elementen er over
bleven bij generalisatie van een uitgangsschaal naar
verschillende kleinere schalen. En hoewel kartogra-
fen de generalisatie vaak intui'tief uitvoeren, en zeker
bij selektie vaak verschillende elementen door ver
schillende kartografen worden weggeselecteerd, is
het aantal behouden elementen op vergelijkbare scha
len bij verschillende kartografen vaak gelijk. Töpfer
ontdekte een vaste relatie tussen het schaalquotiSnt of
de verkleiningsfaktor en het verschil in het aantal be
houden kaartelementen. Die relatie noemde hij de
Wurzelgesetz, omdat in de formule waarmee hij deze
relatie beschrijft de wortel van de verhouding tussen
de uitgangsschaal en de afgeleide schaal voorkomt.
Hij vond dat het aantal Objekten op de afgeleide kaart
gelijk was aan het aantal Objekten op de oorspronke-
lijke kaart maal de wortel uit het quotiönt van de
sehaalgetallen van de oorspronkelijke en afgeleide
schaal. Dat geldt met name bij de generalisatie van
grootschalige kaarten. Bij kleinschalige kaarten zijn
niet alle groepen kaartelementen die op grootschalige
kaarten voorkomen even belangrijk, en om toch ook
hier het aantal overblijvende elementen in een formule
te kunnen vangen moesten er corrigerende constanten
worden ingevoerd waarmee de uitkomst uit de formule
moest worden vermenigvuldigd. De waarde van die
corrigerende constanten hing af van de funktie van de
kaart en van het betrokken verschijnsel. Immers, op
een kleinschalige wegenkaart blijven relatief meer
wegen behouden dan rivieren of hoogtepunten.
De 'wortelwet' wordt op deze manier beschrijvend
gebruikt, omdat hij laat zien hoe men längs wiskundi
ge weg tot het aantal op de afgeleide kaart behouden
kaartelementen kan komen, op basis van het aantal op
de oorspronkelijke kaart en de sehaalgetallen van bei
de kaarten. Behalve als overzicht van wat er eigenlijk
gebeurd is, kan men dit principe ook gebruiken om uit
te rekenen hoeveel namen of Objekten er op een klei
nere schaal moeten worden behouden. Men spreekt
dan in plaats van de Wurzelgesetz van de 'Auswahl
gesetz' of selektiewet van Töpfer.
Met die wet kunnen we op basis van de sehaalgetallen
en het aantal elementen op de oorspronkelijke kaart
uitrekenen hoeveel we op de afgeleide kaart moeten
overhouden. Maar er is dan nog niet bekend wölke
elementen er over moeten blijven. Bestaat er een
hierarchie tussen de verschillende elementen die tot
een categorie hören, bijvoorbeeld plaatsen met ver
schillende inwonertallen of rivieren die veel of weinig
water voeren, dan zal selektie geen probleem vormen,
omdat men de belangrijkste elementen kan selekteren,
tot op het moment dat men een voldoende aantal heeft.
Ontbreekt die hiörarchie echter, dan zal men de ele
menten zodanig moeten selekteren, dat de vorm van
het gebied waarin ze voorkomen en de verschillen in
dichtheid ook door de behouden elementen worden ge-
karakteriseerd.
Töpfers wetten geven meer dan alleen de mogelijkheid
om na te gaan of men bij selektie het juiste aantal
heeft overgehouden. Ook het aantal bochten, in- en
uitstulpingen van kustlijnen, rivieren of hoogtelijnen
kan aan de hand van zijn wetten bij generalisatie wor
den bepaald. Hij heeft ook nagegaan hoe bij generali
satie de oppervlakteverhouding tussen verschillende
kaartelementen niet gelijk blijft maar steeds meer ten
gunste van de belangrijk geachte kaartelementen ver
ändert. Dat proces zet zieh net zo lang voort, als die
elementen nog als losse Symbolen betekenis hebben.
Andere theoretici van de generalisatie, zoals Cuenin
(13) gaan meer deduetief te werk: ze beredeneren de
uitkomsten op basis van de schaalveranderingen en de
aan de kaart gestelde eisen, zoals bijvoorbeeld een
constante symbooldichtheid bij schaalverkleining.
Wanneer men een kaart met 300 puntsymbolen van de
schaal 1:25.000 naar 1:50.000 verkleint, dan wordt het
oppervlak van het weergegeven gebied vier maal zo
klein, en de dichtheid van de puntsymbolen viermaal
zo groot. Wil men de symbooldichtheid hetzelfde hou-
den, dan moet het aantal tot 66n Vierde, hier dus tot
75 Symbolen worden teruggebracht. De grootte van de
selektie bij puntsymbolen wordt bepaald door het
kwadraat van de verhouding tussen het schaalgetal van
de oorspronkelijke en afgeleide kaart.
Wanneer op de schaal 1:25.000 sprake is van een to
taal lengte van de afgebeelde rivierlopen van 500 km,
dan wordt de totale lengte van deze rivierlopen bij
verkleining tot 1:50.000 250 km. Omdat het oppervlak
van de kaart bij deze schaalverkleining tot een kwart
terugloopt, wordt de dichtheid van de rivieren verdub-
beld. Wil men die dichtheid op hetzelfde niveau hou-
den, dan moet men de lengte van de weergegeven ri
vieren halveren. De grootte van de selektie wordt dus
bij lijnsymbolen bepaald door de verhouding tussen het
schaalgetal van de oorspronkelijke en afgeleide kaart.
Een gegeven dichtheid van oppervlakteSymbolen, zo
als bijvoorbeeld van een grondgebruikscategorie als
loofbos, zou in principe bij schaalverkleining tot een
zelfde dichtheid leiden, wanneer de verkleinde vlakjes
althans zonder overdrijving nog waarneembaar zouden
zijn.
Noch de resultaten van deze deduetieve methode, noch
die van Töpfer zijn bij generalisatie van elke uitgangs
schaal toepasbaar. Daarvoor verschilt de informatie-
dichtheid van kaarten op verschillende schalen teveel.
Onze grootschalige basiskaart bevat per oppervlakte-
eenheid z<5 weinig informatie dat de sterke reduetie
van puntsymbolen zoals Cuenin of Töpfer ze voorstel-
len, bij overgang naar bijvoorbeeld de schaal 1:5000
ongewenst is. Er zal bij generalisatie van deze grote
schalen veel minder informatie worden weggelaten,
tot op het moment dat de kaart een zekere 'optimale'
informatiedichtheid heeft. Het is tot nu toe echter niet
mogelijk gebleken objectief vast te stellen en in for-
mules vast te leggen hoe groot die optimale informa
tiedichtheid dan wel moet zijn.
De uiteindelijke controle op een serie achtereenvolgen-
de generalisaties van hetzelfde gebied van groot- naar
kleinschalige kaarten wordt mogelijk aan de hand van
vanuit satellieten vervaardigde luchtfoto's. Daarop
heeft Koeman al in 1968 gewezen (14). Van de afstand
waarop ze worden genomen en door de atmosferische
versluiering zijn alleen de belangrijkste Objekten nog
zichtbaar (zie ook figuur 8). Remote Sensingbeelden
hebben tot nu toe een te klein oplossend vermögen
(89x80 m) om ook als controlemiddel te kunnen wor-
24
KT 1985. XI. 4
