KARTOGRAFISCH TIJDSCHRIFT
2000-XXVI-3
De ruimtelijke gegevens kunnen echter coördinaten hebben
met verschillende onderliggende ellipsoiden, of de onderlig-
gende ellipsoiden kunnen verschillende datums (geodetische
referentie-oppervlakken) hebben. Dit betekent dat de ellipsoi
den niet alleen kunnen verschillen in vorm en grootte, maar
00k in positie (zie figuur 2). Om de ruimtelijke data te combi-
neren kan dan een zogenaamde datumtransformatie nodig
zijn, bijvoorbeeld wanneer gegevens die gebaseerd zijn op de
Europese datum ED 50 moeten worden omgezet naar het Ne-
derlandse RD-stelsel, dat gebruik maakt van de Bessel 1841 el
lipsoide. De projectietransformatie wordt dan gecombineerd
met een tussenliggende datumtransformatie, zoals hieronder
beschreven is. De inverse vergelijkingen leveren geografische
coördinaten op. Dan komt de transformatie van datum A naar
datum B, en tenslotte volgt de omzetting naar de tweede pro-
jectie (figuur 1, methode 11).
Datumtransformatie
Een datumtransformatie kan men wiskundig oplossen via drie-
dimensionale geocentrische coördinaten (zie kader) met be-
hulp van een driedimensionale gelijkvormigheidstransforma-
tie. De gelijkvormigheidstransformatie wordt gedefinieerd
door middel van zeven parameters (drie verschuivingen, drie
rotaties en een schaalverschil), en uitgevoerd in combinatie
met transformaties tussen geocentrische coördinaten en de
breedte- en lengtegraden op beide ellipsoiden (zie figuur 1, me
thode na).
Geocentrische coördinaten
Geocentrische coördinaten zijn x-, y- en z-coördinaten uitge-
zet in een driedimensionaal rechthoekig coördinatenstelsel.
De z-as valt samen met de körte as van de omwentelings-
ellipsoide. De x- en y-as liggen in het equatorvlak: de x-as
wijst naar de nulmeridiaan, en de y-as naar de meridiaan
van 90 graden oosterlengte.
De transformatie van de breedte- en lengtegraden naar de geo
centrische coördinaten, die relatief eenvoudig is, zet breedte
(cp), lengte (X) en hoogte (h) van de ellipsoide om in x, y en z
door middel van drie directe vergelijkingen. De transformaties
van de geocentrische coördinaten naar de breedte- en lengte
graden zijn moeilijker. Ze vereisen een iteratieve berekening
van de ellipsoidale breedte en hoogte, of het gebruik van bena-
deringsformules, zoals die van Bowring. Deze laatste resulteren
in millimeter-nauwkeurigheid voor topografische punten die
binnen 10 kilometer van het ellipsoide-oppervlak liggen [Bow
ring, 1976; Strang van Hees, 1997]
Goede benaderingen van de datumtransformatie zijn evenwel
de Molodensky- en de regressievergelijkingen. Deze koppelen di-
rect de breedte en lengte (Molodensky 00k de hoogte) van bei
de datumsystemen (figuur 1, methode nb). De standaard Mo
lodensky-vergelijkingen leggen een verband tussen breedte,
lengte en hoogte van de ellipsoide van een lokale geodetische
datum en die van de WGS84 datum. De regressievergelijkingen
relateren breedte en lengte van de ellipsoide van continentale
datums aan die van de WGS84, en bevatten veeltermen in (p en
X, voorlopig tot graad 9 [nima, 1997]. Het grote voordeel van
deze laatste methode boven Molodensky (toegepast in de
meeste Gis-software) is dat voor landmassa's van continentale
grootte een hogere nauwkeurigheid bereikt kan worden.
Figuur 2 - Verschui-
ving tussen twee geo
detische datums.
Datum A
Figuur 5 - Coördi-
naattransformatie
uitgevoerd op basis
van geselecteerde pun
ten. Hier zijn 6
punten gekozen.
Datum B
Directe transformaties
Als de onderliggende projectie van een
coördinatenstelsel onbekend is, kunnen
we de coördinaten aan een bekend stelsel
koppelen op basis van een hoeveelheid
geselecteerde punten waarvan de coördi
naten bekend zijn in beide stelsels (figuur
1, methode in). Dit kunnen gemeten ter-
reinpunten zijn of herkenbare punten zo
als hoeken van huizen of wegen.
Op basis van een kleinste kwadraten be-
nadering wordt een tweedimensionale
transformatie uitgevoerd. Afhankelijk
van het type geometrische vervorming in
de data kan dat een conforme, affiene,
projectieve, polynomiale of andere trans
formatie zijn (zie de Website voor nadere
informatie hierover). Deze tweedimen
sionale transformaties hebben een ande
re nauwkeurigheid dan de eerder bespro-
ken transformaties met projectievergelij-
kingen, die rekening houden met de
kromming van het aardoppervlak. Dit is
van belang bij het karteren van uitge-
strekte gebieden. Voor kleinere gebieden
met weinig relief geldt echter dat tweedi
mensionale transformaties een nauwkeu-
riger model kunnen geven dan de kaart-
projectievergelijkingen.
Projectie-omzetting in de praktijk:
enkele kanttekeningen
Voorwaartse en inverse projectievergelij-
kingen worden dus veelal gebruikt om
ruimtelijke data om te zetten van de ene
naar de andere kaartprojectie. Sommige
transformatieprogrammatuur gebruikt
echter geen ellipsoide, maar alleen de bol
als model van de aarde. Zo'n bolmodel
is goed genoeg voor het afbeelden van
Systeem A
Systeem B
50