een systematiek voor voorwaardevergelijkingen, en zij maken een korte formule
ring van voortplantingswet en de schrankingsformules mogelijk. En, last but not
least, zij leiden tot de polygoontheorie in het platte vlak met de bijbehorende
kringnetten! Hier ziet men een echte ontwikkeling. Voorheen meende Baarda
dat Snelliuspunten beter waren dan triangulatie, en dat men van knooppunten
van polygonen niet te veel moest verwachten omdat de toenmalige vereffenings
techniek daarvoor nog niet voldeed.
Het feit dat C een algebra is maakt dat de toegestane transformaties in het vlak,
gezien de meetbare grootheden zijn dit gelijkvormigheidstranformaties, met com
plexe getallen corresponderen. Men noemt dergelijke transformaties endomorfïs-
men. Het succes van de algebraïsche aanpak bracht Baarda er toe ook naar een
algebra voor de R3 te zoeken. Waterpassing, hoewel een buitenbeentje, kon
prima met de R1 beschreven worden. Het verhaal van de quaternionen is bekend.
Het werkt wel, maar lang niet zo mooi als de complexe getallen. Zie bijvoorbeeld
de dissertaties van Quee, Molenaar en het werk van Kroon. Een quaternion is
weliswaar juist genoeg om een rotatie en een vermenigvuldiging te representeren,
maar teveel voor een vector in de R3 Deze royale aanpak, men gebruikt immers
vier elementen waar drie zouden volstaan, heeft hierbij wel het voordeel dat men
er bepaalde singulariteiten mee kan vermijden. In de literatuur treft men hier
voor echter ook andere grootheden dan quaternionen aan. Het alternatief is om
uit te gaan van vectoren in R3 en te accepteren dat men voor de gewenste trans
formaties niet binnen de R3 terecht kan. Rekentechnisch is de opzet met rotatie-
matrices trouwens het goedkoopst, als men het tenminste handig aanpakt. Bakker
heeft kans gezien deze aanpak ook in een differentiaalmeetkundige jas te steken,
met driebenen en Cartan-matrices. Hiermee wist hij op overtuigende wijze het
eerder door Quee met quaternionen opgeloste, ruimtelijk polygoon-probleem te
presenteren - in de versie met één stabiele referentierichting. Bakker meent op
grond van zijn aanpak dat de R3 zich in feite zelfs mooier gedraagt dan de R2
Dat de quaternionen ook voor moeilijke theoretische beschouwingen niet strikt
nodig zijn, laat Teunissen in zijn dissertatie zien. Voor een behoorlijk algemeen
geformuleerde overbepaalde gelijkvormigheidstranformatie geeft hij de strenge
kleinste kwadraten-oplossing - zonder quaternionen.
Baarda heeft lang gezocht naar een hermetische, algebraïsche aanpak voor, liefst,
de hele geodesie. Bovenstaande overwegingen zullen ook hem nu, denk ik, wel
aan het twijfelen gebracht hebben of bv. voor de R3 zo'n gesloten systeem wel
bestaat. De relaties tussen de verschillende niet-gesloten representaties van de
ruimte met zijn transformaties liggen daarvoor te duidelijk. Iets mooier dan Bak
kers theorie of praktisch gelijkwaardig, de quaterniontheorie met evenwijdige
265
