Dit zijn drie sets van vergelijkingen die ik kort geleden ben tegengekomen. Alle
drie beschrijven bewegingen in een bewegend lokaal coördinatenstelsel. Ik zal
geen uitleg van de notaties en van de betekenis van de individuele elementen ge
ven. Formules (1) beschrijven de mechanisatie van een zgn. local-level traagheids-
navigatie systeem. 16Formules (2) worden Hill's vergelijkingen genoemd en
geven de relatieve beweging van twee kunstmanen op korte afstand weer.17) Zij
kunnen ook gebruikt worden voor de relatieve beschrijving van de baan van een
satelliet ten opzichte van een benaderde baan. Formules (3) zijn de bewegings
vergelijkingen in de fysische oceanografie.18) Het verschil in notatie van de lin
kerzijde van (3) in vergelijking met (1) en (2), de zgn. totale differentiaal, veroor
zaakt bijzondere moeilijkheden in het model. (Niet verrassend indien men bedenkt
dat het fenomeen, het gedrag van de zee, dat men met (3) tracht te beschrijven
in werkelijkheid ook vaak moeilijkheden veroorzaakt).
Als er al een bij benadering nauwkeurig beeld van het verloop van dit soort pro
cessen bestaat, dan kunnen bovengenoemde vergelijkingen gelineariseerd worden.
Er ontstaan dan formules die alleen nog maar het verschil tussen de benadering
en het werkelijke19) verloop van het bewegingsproces weergeven. De formules
hebben een typische vorm:
Vector x (t) bevat alle elementen die nodig zijn om de toestand van een systeem
(kunstmaan, traagheidsnavigatie apparatuur, waterdeeltjes) op tijdstip t eendui
dig te beschrijven. F(t) beschrijft de verandering van de toestand met de tijd en
G(t) w (t) bevatten alle van de toestand afhankelijke "storingen", die voortdu
rend inwerken op het systeem. Voorbeelden van deze storingen zijn de invloed
van het aardse zwaartekrachtveld, lucht weerstand, drukvariaties enz. Zoals be
kend van de middelbare school kan de afgeleide, xonder bepaalde voorwaarden
geschreven worden als (x(t A t) x (t)) At en wij verkrijgen dan voor (4)
In (5) geeft 4> de overgang weer van toestand t naar toestand t A t.20) Vergelij
king (5) laat ons een klein stukje in de toekomst kijken, nl. van t naar t A t (als
het systeem stabiel is). In gunstige gevallen is het mogelijk ook grotere tijdinter
vallen te overbruggen, dat wil zeggen er kan een algemene uitdrukking voor de
overgangsfunctie, 4>(t,tQ), gevonden worden. Ik zal hier nu een einde maken aan
de formules.
x(t) F(t) x (t) G(t) w (t)
(4)
x (t) A t) x (t) F(t) A t x (t) G(t) A t w (t)
4>(t At,t) x (t) 4>(t At,t) G(t) A t w(t).
(5)
282