In de praktijk zijn verschillende filtermethoden beschikbaar. Het Kalman filter
is een specifiek algoritme dat op basis van de toestandsbeschrijving van een
systeem is gedefinieerd. Omdat andere filtermethoden in het tijddomein vaak
als een speciale vorm van het Kalman filter afgeleid kunnen worden, noemt
men deze filters dikwijls ook Kalman filters. Het Kalman filter is zo bekend
geworden omdat het een rekursief algoritme is. Dat wil zeggen dat, om de
toestand op een bepaald tijdstip te schatten, alleen de vorige schatting van de
toestand en de huidige waarneming nodig zijn. Dit maakt het Kalman filter
rekentechnisch zeer geschikt voor real-time problemen; de oplossing is
zodanig geformuleerd dat op een bepaald tijdstip met een minimum aan
bewerkingen kan worden volstaan.
Filteren en kleinste kwadraten vereffening
Het Kalman filter is - simpel gesteld - op te vatten als een sequentiële
vereffening aangevuld met een modellering van de tijdsafhankelijkheid van de
onbekenden. Het verband tussen het Kalman filter en de kleinste kwadraten
vereffening zal kort worden beschreven. Het model met waarnemingsvergelij
kingen (tweede standaardvraagstuk) dat ten grondslag ligt aan een kleinste
kwadraten vereffening luidt:
E{Y} Ax D{Y} Qy
waar Y de vektor van waarnemingsgrootheden met variantiematrix Qy is; x de
vektor van onbekenden en A de designmatrix. Indien we nu metmgen op
verschillende tijdstippen tk,tk+1,... verrichten en bovendien aannemen dat de
onbekenden tijdsafhankelijk zijn, dan kunnen we voor elk tijdstip een zoge
naamd waarnemingsmodel opstellen:
tijdstip k E{Yk} Akxk D{Yk} Qy(k)
tijdstip k+1 E{Yk+1} Ak+1xk+1 p{Yk+1} Qy(k+1) etcetera.
In de filtertheorie wordt de stochasticiteit van de waarnemingen (gemodel
leerd door middel van de variantiematrix Q waarnemingsruis (measurement
noise) genoemd. Indien de vektor van onbekenden een konstante vektor is (x
Xj^ xk+1 etcetera), dan reduceert het vereffeningsprobleem van de
schatting van x tot een sequentiële vereffening. Bij het filteren hebben we
echter bovendien de beschikking over een model dat de voortplanting van de
toestand in de tijd beschrijft. Dit is het zogenaamde dynamisch model
315
