Het dynamisch model is vaak direkt af te leiden uit de fysische wetten die aan
de dynamica van het systeem ten grondslag liggen. De matrix $k+1 k wordt de
transitiematrix genoemd en beschrijft het verband tussen toestanden op
opeenvolgende tijdstippen.
De term E{dk} modelleert de onzekerheid (of stochastische verstoringen) in
het dynamisch model (bijvoorbeeld veroorzaakt door golven bij een schip). De
bijdrage E{dk} wordt systeemruis (system noise) genoemd en heeft variantie-
matrix Qd. Naast het waarnemingsmodel en het dynamisch model moeten nog
beginvoorwaarden voor de toestand worden geformuleerd. Deze hebben de
vorm:
E{^} Xq D{xq} Qx(0).
Indien nu het waarnemingsmodel en het dynamisch model als ëën stelsel
waarnemingsvergelijkingen worden geschreven, leidt toepassing van het
kleinste kwadraten algoritme voor het model met waarnemingsvergelijkingen
tot het Kalman filter.
De werking van het Kalman filter zal kort worden weergegeven. Uitgaande
van de beginvoorwaarden wordt, indien op dat moment geen waarnemingen
beschikbaar zijn, het dynamisch model gebruikt om een schatting van de
toestand op een volgend tijdstip te verkrijgen. Dit is niets anders dan een
voorspelling (of prediktie) en wordt meestal aangeduid als een 'time-update'
Men kan de voorspelling echter niet straffeloos blijven voortzetten. Bij elke
stap moet men immers de bijdrage van de systeemruis in rekening brengen;
de precisie van schatting van de toestand wordt dus steeds slechter. In de
praktijk zal de voortplanting van de toestand in de tijd in kleine stapjes
worden gedaan. Bij elke stap wordt dan gekeken of er inmiddels een of meer
waarnemingen beschikbaar zijn. Indien dit het geval is, voert men, uitgaande
van het waarnemingsmodel en de voorspelde toestand, een vereffening uit, de
zogenaamde 'measurement update'. Dit is de eigenlijke filterstap. De measu
rement update heeft de volgende karakteristieke gedaante:
De grootheden xkik en zijn respektievelijk de gefilterde toestand
(schatting op tijdstip k georuik makend van alle waarnemingen op dat tijdstip)
en de voorspelde toestand (schatting op tijdstip k gebruik makend van alle
informatie tot op het tijdstip k-1). Uit de bovenstaande formule blijkt duidelijk
de rekursiviteit van het filter; de schatting van de gefilterde toestand is slechts
een funktie van de voorspelde toestand (xk|k l) en de waarneming op dat
316
Xfc+1 *k+i,kxk E(dk}-
xk k xk k-1 Kk(yk Akxk|k-l)*
