deed bij de Grieken, maar het penetreert ook de traditionele gebieden van de
algebra en de meetkunde. Zo ontstaat nu naast de Euclidische en de analyti
sche meetkunde de differentiaalmeetkunde.
Deze differentiaalmeetkunde van met name de ruimtekromme en het gebogen
oppervlak wordt in de 19e eeuw verder ontwikkeld door Frenet en Gauss en
natuurlijk nog vele anderen. Deze meetkunde is ook als een coördinaatmeet-
kunde te beschouwen waarbij nu kromlijnige coördinaten hun entree doen.
De differentiaalmeetkunde van Gauss is nog steeds op te vatten als een
gereedschap waarmee vormen in onze aanschouwingswereld kunnen worden
beschreven. Dat is niet meer het geval met de meetkunde die Riemann uit
deze differentiaalmeetkunde ontwikkelt door de beperking van de toepassing
ervan op ruimtes met een dimensie van 2 te laten vallen en algemene n-
dimensionele ruimtes in te voeren.
De explosieve ontwikkeling van de coördinaatmeetkunde na de invoering van
het coördinaatbegrip door Descartes betekende overigens niet dat de ontwik
keling van laten we maar zeggen de coördinaatvrije meetkunde stagneerde.
Integendeel, er werden naast de Euclidische meetkunde andere meetkundes
ontwikkeld zoals de projectieve en de affiene meetkunde waarbij in beide
gevallen uitgegaan werd van de eerste 4 axioma's van Euclides met uitsluiting
van zijn 5e axioma dat over de evenwijdigheid van rechten spreekt en die het
mogelijk maakt lengten van lijnstukken met elkaar te vergelijken.
Het was de Duitse wiskundige Felix Klein die aan het eind van de vorige eeuw
al deze, min of meer als coördinaatvrij te beschouwen, meetkundes heeft
gerubriceerd en voor leken ook goed leesbare boeken daarover heeft geschre
ven. Verschillende van deze meetkundes worden in de geodesie toegepast
zoals de projektieve meetkunde die in de fotogrammetrie gebruikt wordt bij
de modelvorming. Het is daarom heel interessant om eens een boek over
projektieve meetkunde in te zien en om na te gaan welke plaats deze meet
kunde in de Massificatie van Klein inneemt. De topologische meetkunde is ook
zo'n meetkunde maar dan van meer recente datum. Deze meetkunde wordt
zoals bekend nu gebruikt bij het opzetten van geografische databases. Zij is op
te vatten als een meetkunde die slechts gebaseerd is op de eerste twee
axioma's van Euclides.
Een medewerker van Klein was de Noorse wiskundige Lie die een algebra
ontwikkelde die nauw gelieerd is met de Cartan-meetkunde. Deze Cartan-
meetkunde, die toegepast kan worden om relaties tussen velden van driebenen
(een bekend meetkundig concept in de geodesie) vast te leggen, is ook een
loot aan de stam van coördinaatvrije meetkundes.
U begrijpt ondertussen wel dat hier nu wel enkele namen van meetkundigen
42
